任意の多角形の辺の中点を順に結んで内接多角形を作る操作を繰り返します．すると多角形はだんだん小さくなりますが，元の多角形と新しく導かれた多角形はすべて同じ重心をもっています．そして，偶数角形の場合は対辺が平行で長さの等しい多角形に近づいていきます．

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【１】逆問題（カスナーの定理）

　それでは，中点多角形（ｚ0'，ｚ1'，・・・，ｚk-1'）が前もって指定されているとき，外接多角形（ｚ0，ｚ1，・・・，ｚk-1）を構成することは可能でしょうか？

　始点がわかればあとは芋づる式に構成可能ですが，それは奇偶性に大きく依存します．

(1)奇数角形の場合

　　　ｚ0＝ｚ0'−ｚ1'＋ｚ2'−・・・＋ｚk-1'

とすると始点は一意に決まる．

(2)偶数角形の場合

　　ｚ0'−ｚ1'＋ｚ2'−・・・＋ｚk-1'＝０

すなわち

　　ｚ1'＋ｚ3'＋・・・＋ｚk-2'＝ｚ2'＋ｚ4'＋・・・＋ｚk-1'

が成り立つときに外接多角形が存在する．そのとき始点は任意に選んでよく，どの点から始めようとも閉多角形を得ることができる（無限に多くの解がある）．

　これはカスナーの定理と呼ばれていて，中点多角形をカスナー多角形，元の多角形を前カスナー多角形といいます．各辺が１：１でなく他の比に内分されたとしても，同じような現象が起こります．

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【２】ダグラスの定理

　最初の多角形が平面上になく空間内でねじれている歪多角形としても，新しく導かれた多角形は平面多角形に近づき，重心も同じになります．

　カスナーの定理より，奇数角形のとき前カスナー多角形は一意に存在するが，偶数角形のとき前カスナー多角形は必ずしも存在しないことがわかっているので，ここでは奇数角形のときのみ，前カスナー多角形を考えることにします．

　プラトー問題で有名なダグラスの歪多角形に関する定理を述べましょう．

「３次元空間の任意の歪五角形（ｚ0，ｚ1，ｚ2，ｚ3，ｚ4）において，頂点ｚiと向かい合った辺の中点ｚi'を繋ぐ直線上に

(1)　　-1/√5ｚi+(1+1/√5)ｚi'

√５＋１：１に外分する点を結んだ五角形は平面五角形

(2)　　 1/√5ｚi+(1-1/√5)ｚi'

√５−１：１に内分する点を結んだ五角形は平面星形五角形

となる．」

　空間五角形からたった１回の操作で平面五角形が得られるというのですから，まことに不思議に感じられます．これを証明するのは難しくはないのですが，発見するのは易しくはなかったであろうと推察されます．

　ダグラスのアイディアは歪七角形に一般化されます．しかし，この場合はさらに対辺に隣接する辺の２頂点を結ぶ弦の中点ｚi''も必要になります．

「７個の三角形（ｚi，ｚi'，ｚi''）の各々において，３個の七角形

　　-0.08627ｚi+0.69859ｚi'+0.38768ｚi''

　　 0.78485ｚi+1.08626ｚi'-0.87111ｚi''

　　 0.30141ｚi+0.21515ｚi'+0.48344ｚi''

は平面七角形である．」

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［補］星形正多角形と雪型正多角形

　正多角形の辺を延長すると星形の正多角形が得られますが，そのとき，辺が一連になって一つの多角形を作る場合と２つ以上の多角形に分かれる場合があります．前者を星形正多角形，後者を雪型多角形といいます．

　正５角形からは星形（ソロモンの星）が，正６角形からは雪型（ダビデの星）が得られます．ダビデの星はイスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされています．ダグラスの定理は歪六角形の場合，２個の三角形（雪型六角形）に分かれてしまうのです．

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【３】バリエーション

　任意の六角形について，隣り合わせの３つずつの頂点でできる三角形の重心を結ぶと，対辺同士が平行で長さの等しい六角形が１回の操作で得られます．また，任意の六角形について，隣り合わせの３つずつの頂点を平行四辺形の３頂点とすると残る第４の頂点を結ぶとひとつの角柱の頂点となります．

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