幾何学におけるマイ未解決問題（その５）にでてきた級数，ｋ＝１〜ｎとして，

　　Σｋ２^k＝１・２＋２・２^2＋３・２^3＋・・・＋ｎ・２^n

　２Σｋ２^k＝　　　　１・２^2＋２・２^3＋３・２^4＋・・・＋ｎ・２^n+1

辺々を引くと

　　Σｋ２^k＝−２−２^2−２^3−・・・−２^n＋ｎ・２^n+1

＝−Σ２^k＋ｎ・２^n+1

＝−（２^n+1−２）＋ｎ・２^n+1

＝（ｎ−１）２^n+1＋２

について補足しておきたい．以前，やったようなやらないような・・・

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　一般に，ｋ＝０〜ｎとして，

　　Ｓ＝Σ（ａ＋ｋｄ）ｑ^k＝ａ＋（ａ＋ｄ）ｑ＋（ａ＋２ｄ）ｑ^2＋・・・＋（ａ＋ｎｄ）ｑ^n

＝ａΣｑ^k＋ｄΣｋｑ^k

ａΣｑ^k＝ａ（１−ｑ^n+1）／（１−ｑ）

　　Σｋｑ^k＝１・ｑ＋２・ｑ^2＋３・ｑ^3＋・・・＋ｎ・ｑ n

　ｑΣｋｑ^k＝　　　　１・ｑ^2＋２・ｑ^3＋３・ｑ^4＋・・・＋ｎ・ｑ^n+1

辺々を引くと

（１−ｑ）Σｋｑ^k＝ｑ＋ｑ^2＋ｑ^3＋・・・＋ｑ^n−ｎ・ｑ^n+1

＝Σｑ^k−ｎ・ｑ^n+1

＝（ｑ−ｑ^n+1）／（１−ｑ）−ｎ・ｑ^n+1

Σｋｑ^k＝（ｑ−ｑ^n+1）／（１−ｑ）^2−ｎ・ｑ^n+1／（１−ｑ）

ｄΣｋｑ^k＝ｄ（ｑ−ｑ^n+1）／（１−ｑ）^2−ｄｎ・ｑ^n+1／（１−ｑ）

ａΣｑ^k＋ｄΣｋｑ^k＝ｄ（ｑ−ｑ^n+1）／（１−ｑ）^2＋｛ａ（１−ｑ^n+1）−ｄｎ・ｑ^n+1｝／（１−ｑ）

Ｓ＝ｄｑ（１−ｑ^n）／（１−ｑ）^2＋｛ａ−（ａ＋ｄｎ）ｑ^n+1）／（１−ｑ）

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　したがって，ｋ＝１〜ｎ−２として，［１］〜［４］までの総和を調べてみると

　　Σ２^k（ｎ−ｋ−１）＝２^n−２ｎ

となる．

　　２^n−２ｎ＋（２ｎ−３）＋２＝２^n−１　　（合致）

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