実のところ，粒子という概念がいささか古めかしいものになっていて，量子学力学の基礎をなす概念は「量子場」である．量子場は大域的空間であって，その局所的なものが粒子であるという考えである．

　二分法の対立はいろいろな分野で見られることであって，今回のコラムでは，大域的と局所的の例を拾い出してみたい．

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【１】ガウス・ボンネの定理

　空間の不変量が特性数であり，特性数の最も簡単な例がオイラー標数であるのですが，特性類の理論は古くはガウス・ボンネの定理にその雛形を見いだすことができます．

　ガウス・ボンネの定理とは，

　　ガウス曲率の積分＝２π×オイラー数

で表されます．オイラー標数については，コラム「４次元・５次元を垣間みる」などで解説してあるので割愛しますが，球であれば全曲率∫Ｋ＝４π，トーラスであれば全曲率∫Ｋ＝０，一般に穴がｇ個あるとき，

　　∫Ｋ＝２π（２−２ｇ）＝２πχ

したがって，この定理は，曲面の各点における曲がり具合を知れば，穴の数がわかることを意味しています．

　われわれの住む世界にいくつ穴が空いているかは，外側からみれば一目瞭然ですが，内部に住む人間（曲面人）にはなかなか理解できません．しかし，面・辺・頂点の数を数えたり，世界の曲がり具合を調べることによって，内部に住む人間も穴の数を知ることができるようになるというわけです．

　ガウス・ボンネの定理は，

　　∫（微分幾何学的データ）＝位相幾何学的データ

の形をしています．すなわち，ガウス・ボンネの定理は，局所的に記述されるガウス曲率（湾曲した空間の小部分を記述するのに適したローカルな量）を全体で積分すると位相不変量（大域的で連続的に変形していっても変化しない量）になることをいっているわけで，微分幾何学と位相幾何学の異なる２つの世界を結びつけているところから，微分幾何学で最も美しい定理といわれています．

　オイラー数を曲率の積分で表すガウス・ボンネの定理は，２次元に限らず，２ｎ次元についても拡張されて成り立ちます．これは，ポアンカレ・ホップの指数定理とも呼ばれています．その後，ガウス・ボンネの定理はチャーン（陳省身）によって高次元（２ｎ次元）に拡張されました．

　　曲率のパフィアンの積分＝（２π）^n×空間全体のオイラー数

　　２次元空間を扱うときｎ＝１

　ガウス・ボンネの定理の素晴らしいところは

［１］曲率Ｋは面に内在するので，内部に住む人間でもアリでも，面を離れずに自分が張っている曲面全体の種類を知ることができる．

［２］全曲率はつねに２πの整数倍である（全曲率は量子化されている）

　私たちは宇宙の外に出ることはできないから，あくまで内部から私たちが暮らす宇宙を理解するしかないが，ガウス・ボンネの定理はそれが可能であることを主張しているのである．

　その後，空間不変量はオイラー標数に留まらず，チャーン指標，チャーン・サイモン不変量などさまざま（どっさり）あることがわかっている．

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　多様体とは，各点の近傍が局所的なユークリッド空間になっていて，全体としては様々な性質をもつ図形を意味します．ユークリッド幾何学（放物線幾何学），ボヤイ・ロバチェフスキー幾何学（双曲線幾何学），リーマン幾何学（楕円幾何学），この３種類の幾何学は大きく見るとそれぞれ異なっていますが，局所的に見るとほとんど変わりません．現在われわれが住んでいる宇宙もユークリッド的に見えますが，もっと大きく見ると非ユークリッド的であってもよいわけです．

　宇宙は曲がった空間であると考えられているのですが，宇宙全体を見渡すと，もしかしたら想像もつかないような３次元多様体になっているのかも知れません．ガウスがホーエル・ハーゲン，ブロッケン，インゼルスベルクの３つの山頂からなる巨大な三角形の測量に基づいて，この疑問に答えようとしていたことは有名な逸話になっています．

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