完全楕円積分

　　ωＴ／４＝Ｋ（ｋ）＝Ｆ（ｋ，π／２）

をｋについてのベキ級数に展開すると

　　Ｋ（ｋ）＝π／２｛１＋（１／２）^2ｋ^2＋（１・３／２・４）^2ｋ^4＋（１・３・５／２・４・６）^2ｋ^6＋・・・｝

　ランデン変換では

　　ｋ’＝（１－ｋ^2）^1/2

の過程で，その母数は急速に０に近づく．

　　ｋ0＝１／√２＝０．７０７１０７

の例ではｋ→ｋ1に移ると約１／４となることがわかる（ｋ1～ｋ／４）．

　ｋがすでに１に比べて小さくなっているとすると

　　ｋ1～ｋ^2／４

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　振幅ｋが十分小さいとき，

　　Ｋ（ｋ）＝（１＋ｋ1）（１＋ｋ2）（１＋ｋ3）・・・π／２～（１＋ｋ1）π／２　　

　　ｋ’＝（１－ｋ^2）^1/2

　　ｋ1＝（１－ｋ’）／（１＋ｋ’）＝（１－（１－ｋ^2）^1/2）／２～ｋ^2／４

となるというわけである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝