第１種楕円積分

　 F(k,φ)=∫(0,φ)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2)

において，φ＝π／２としたものが第１種完全楕円積分

　　Ｋ（ｋ）＝Ｆ（ｋ，π／２）

である．

　Ｋ（ｋ）をｋのベキ級数に展開した式を実際に計算してみると，収束が遅くてもどかしい．そこで，収束加速法のひとつとしてはランデン変換を導入したい．

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　まず，母数ｋに対して，補母数

　　ｋ’＝（１−ｋ^2）^1/2

を導入する．次に，

　　ｋ1＝（１−ｋ’）／（１＋ｋ’），ｋ’＝（１−ｋ1）／（１＋ｋ1）

とおく．以下，ｋ1が変換後の母数となることを示す．

　ランデン変換というのは，積分変数の変換

　　ｓｉｎθ1＝（１＋ｋ’）ｓｉｎθｃｏｓθ／（１-ｋ^2ｓｉｎ^2θ)^(1/2)を行うことである．

　この式から

　　ｃｏｓθ1＝（１−ｋ’）ｓｉｎ^2θ／（１-ｋ^2ｓｉｎ^2θ)^(1/2)

　　（１-ｋ’^2ｓｉｎ^2θ1)^(1/2)＝｛１−（１−ｋ’）ｓｉｎ^2θ｝／（１-ｋ^2ｓｉｎ^2θ)^(1/2)

がでてくるが，これらを組み合わせて

　　ｔａｎθ1＝（１＋ｋ’）ｓｉｎθｃｏｓθ／｛１−（１−ｋ’）ｓｉｎ^2θ｝

　　ｔａｎ（θ1−θ）＝（ｔａｎθ’−ｔａｎθ）／（１＋ｔａｎθ’ｔａｎθ）＝ｋ’ｔａｎθ

が得られる．これがキモである．

　微分すると

　　ｓｅｃ^2（θ1−θ）（ｄθ1−ｄθ）＝ｋ’ｓｅｃ^2θｄθ

　　ｄθ1＝（１＋ｋ’）｛１−（１−ｋ’）ｓｉｎ^2θ｝／（１-ｋ^2ｓｉｎ^2θ)^(1/2)ｄθ

　結局，

　　ｄθ1／（１-ｋ1^2ｓｉｎ^2θ)^(1/2)＝（１＋ｋ’）・ｄθ／（１-ｋ^2ｓｉｎ^2θ)^(1/2)

　　１＋ｋ’＝２／（１＋ｋ1）

　　ｄθ／（１-ｋ^2ｓｉｎ^2θ)^(1/2)＝（１＋ｋ1）／２・ｄθ1／（１-ｋ1^2ｓｉｎ^2θ)^(1/2)

と書けることがわかる．

　すなわち，第１種楕円積分が母数の小さい同種の楕円積分に帰着されるのである．到達した漸化式は

　　Ｆ（ｋ，φ）＝（１＋ｋ1）／２・Ｆ（ｋ1，φ1）

である．

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　完全楕円積分

　　Ｋ（ｋ）＝Ｆ（ｋ，π／２）

の場合，

　　φ＝０→φ1＝０

　　φ＝π／２→φ1＝π

左右対称であるから

　　Ｆ（ｋ，π／２）＝（１＋ｋ1）／２・Ｆ（ｋ1，π）＝（１＋ｋ1）Ｆ（ｋ1，π／２）

　こうして，漸化式

　　Ｋ（ｋ）＝（１＋ｋ1）Ｋ（ｋ1）

が得られる．これを繰り返せば母数は急速に０に，Ｋはπ／２にちかづくのであるから

　　Ｋ（ｋ）＝（１＋ｋ1）（１＋ｋ2）（１＋ｋ3）・・・π／２

なる無限乗積の形に書くことができるというわけである．

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