問題を簡単にするため，ＡさんとＢさんが同時に相手をめざして歩いたとする．最初のＡさんとＢさんの距離をａ，Ａさん，Ｂさん，犬の速度をｖ1＝ｖ2＝ｖ，ｖ3とする．

　Ａさんの犬が初めてＢさんにぶつかるまで走った距離をｘ1とすると，ｘ1−ａはその間にＢさんが歩いた距離である．

　　ｘ1：（ａ−ｘ1）＝ｖ3：ｖ2

　　ｘ1＝ｖ3ａ／（ｖ3＋ｖ）

　　ｔ1＝ａ／（ｖ3＋ｖ）

このとき，ＡさんとＢさんの間の距離は

　　ａ1＝ｘ1−ｖｔ1＝（ｖ3−ｖ）ａ／（ｖ3＋ｖ）

　次に，犬がＡさんにぶつかるまで走った距離をｘ2とすると，ｘ1−ｘ2は，その間にＡさんが歩いた距離である．

　　ｘ2：（ａ1−ｘ2）＝ｖ3：ｖ

　　ｘ2＝ｖ3ａ1／（ｖ3＋ｖ）

　　ｔ2＝ａ1／（ｖ3＋ｖ）

このとき，ＡさんとＢさんの間の距離は

　　ａ2＝ｘ2−ｖｔ2＝（ｖ3−ｖ）ａ1／（ｖ3＋ｖ）

　同様に

　　ｘ3＝ｖ3ａ2／（ｖ3＋ｖ）

　　ｔ3＝ａ2／（ｖ3＋ｖ）

　　ａ3＝ｘ3−ｖ1ｔ1＝（ｖ3−ｖ）ａ2／（ｖ3＋ｖ）

　　ｘ4＝ｖ3ａ3／（ｖ3＋ｖ）

　　ｔ4＝ａ3／（ｖ3＋ｖ）

　　ａ4＝ｘ4−ｖｔ2＝（ｖ3−ｖ）ａ3／（ｖ3＋ｖ）

　　ｘ＝ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋・・・

＝ｖ3ａ／（ｖ3＋ｖ）｛１＋（ｖ3−ｖ／ｖ3＋ｖ）＋（ｖ3−ｖ／ｖ3＋ｖ）^2＋・・・｝

＝ｖ3ａ／（ｖ3＋ｖ）・１／（１−（ｖ3−ｖ／ｖ3＋ｖ））

＝ｖ3ａ／（ｖ3＋ｖ）・（ｖ3−ｖ）／２ｖ

＝ｖ3ａ／２ｖ

　これはもちろん，両者が出会うまでの時間＝ａ／２であるから，その間に犬が走る距離は

　　ｖ3ａ／２ｖ

ということで，フォン・ノイマンは簡単にたどり着ける問題をわざわざ難しくしてが解いたというオチがつく．

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Ｓ：それでは次の問題はわかるだろうか？　１辺の長さ１００ｍの正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さ１ｍ／ｓで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．犬達が正方形の中心で出会うのにどれくらいの時間がかかるか？

Ｕ：？？？

Ｓ：（犬の進む経路と正方形の１辺の長さは等しいから，１００秒が正解．なお，このとき犬のたどる軌跡は等角らせんとなる．等角らせんの伸開線と縮閉線は，もとの等角らせんと合同な等角らせんになる．）

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