【１】メルセンヌ素数

　　ａ^n−１＝（ａ−１）（ａ^(n-1)＋ａ^(n-2)＋・・・＋１）

という形の数は，少なくともａ＝２でｎが素数でない限り素数にはならない．この形の素数をメルセンヌ素数という．ｑがメルセンヌ数Ｍp＝２^p−１の素因数であるならば，ｑは２ｋｐ＋１の形の整数である．

［Ｑ］ａ^n−１の約数はａ−１を割り切るか，または２ｎｋ＋１という形の奇素数である．

［Ａ］ｑが奇素数でａ^n＝１　　（ｍｏｄｑ）であればａは法ｑに関してベキ数δ＝１，ｎのひとつに属する．

　　δ＝１→ａ＝１　　（ｍｏｄｑ）

　　δ＝ｎ→ｑ−１＝２ｎｋ

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【２】フェルマー素数

　　ａ^n＋１＝（ａ＋１）（ａ^(n-1)−ａ^(n-2)＋・・・＋１）

が素数になるのもａが素数でｎは２の累乗の場合に限られている．すなわち，ａが２の場合にこの形の素数候補はフェルマー数：Ｆn＝２^(2^n)＋１だけとなる．

［Ｑ］ａ^n＋１の約数はａ＋１を割り切るか，または２ｎｋ＋１という形の奇素数である．

［Ａ］ｑが奇素数でａ^n＋１＝０　　（ｍｏｄｑ）であれば，ａ^2n＝１　　（ｍｏｄｑ）．ａは法ｑに関してベキ数δ＝１，２，ｎ，２ｎのひとつに属する．

　　δ＝１，ｎ→起こり得ない

　　δ＝２→ａ^2n＝１，ａ＋１＝０　　（ｍｏｄｑ）

　　δ＝２ｎ→ｑ−１＝２ｎｋ

［Ｑ］２^2^n＋１の約数はｋ２^(n+1)＋１という形の奇素数である．

［Ａ］ｑが奇素数で２^2^n＋１＝０　　（ｍｏｄｑ）であれば，２^2^(n+1)＝１　　（ｍｏｄｑ）．２は法ｑに関してベキ数δ＝２^(n+1)に属する．

　　δ＝２^(n+1)→ｑ−１＝ｋ２^(n+1)

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【３】オイラー独自の理論的裏付け

　ここでは，

　　ｐ｜ａ^(2^n)＋１　　（ｐ≠２の素数）

ならば

　　２^(n+1)｜ｐ−１

となることの証明を与えておきます．

［１］２平方和定理（フェルマー・オイラーの定理）

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｐ^2＋ｑ^2，ｐ＝ａｃ−ｂｄ，ｑ＝ａｄ＋ｂｃ

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2，・・・．しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　この定理はフェルマーの「直角三角形の基本定理」と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明（一意性も込めた証明）がなされています．

［２］この定理を拡張する方向としては，ひとつには未知数の個数を増すこと，もうひとつには指数を大きくすることです．後者の方向に押し進めていくと

(1)ａ^2＋ｂ^2の奇約数はつねに４ｎ＋１の形である

(2)ａ^4＋ｂ^4の奇約数はつねに８ｎ＋１の形である

(3)ａ^8＋ｂ^8の奇約数はつねに１６ｎ＋１の形である

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(4)ａ^2^(2^m)＋ｂ^2^(2^m)の奇約数はつねに２^(m+1)ｎ＋１の形である

　フェルマー数はＦn＝２^(2^n)＋１という形の数ですが，ａ＝２，ｂ＝１とおくと

(5)フェルマー数２^(2^m)＋１の奇約数はつねに２^(m+1)ｎ＋１の形である

という言明に到達します．ｍ＝５の場合，約数は６４ｎ＋１という形でしかあり得ないことになります．

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【４】オイラーとフェルマー素数

　　ｐ｜Ｆ5ならば２^6｜ｐ−１

すなわち，ｐ＝１＋ｋ・２^6の形でなければならないことがわかります．ｋに１〜１０まで入れると

　　　　ｋ　　　１＋ｋ・２^6　　　素数

　　　　１　　　　　６５　　　　　×

　　　　２　　　　　１２９　　　　×

　　　　３　　　　　１９３　　　　○

　　　　４　　　　　２５７　　　　○

　　　　５　　　　　３２１　　　　×

　　　　６　　　　　３８５　　　　×

　　　　７　　　　　４４９　　　　○

　　　　８　　　　　５１３　　　　×

　　　　９　　　　　５７７　　　　○

　　　１０　　　　　６４１　　　　○

　ここで得られた素数１９３，２５７，４４９，５７７，６４１の中から，Ｆ5＝４２９４９６７２９７を割るものを探すと６４１が最初のものであることがわかります．このことから

　　Ｆ5＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

と分解されＦ5が素数でないことが証明されます（１７３２年）．

　ついでながら，６７００４１７が素数であることは次のようにしてわかります．

　　ｐ｜６７００４１７　→　ｐ｜Ｆ5　→　ｐ＝１（ｍｏｄ６４）

したがって，ｐ＝１（ｍｏｄ６４）なる素数で，√６７００４１７＝２５８８．５・・・より小さいものが，どれも６７００４１７を割らないことをみればよいことになります．このような素数は１９３，２５７，・・・，１６０１，２１１３の１１個あります．

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