１９２７年，ディラックは電子の量子力学と相対性理論を結びつけようとして，電子の運動量ｐを加えたアインシュタイン方程式

　　Ｅ^2＝ｍ^2ｃ^4＋ｐ^2ｃ^2

から２乗を外そうと考えた．

　彼が考案したのは，

　　　　Ｅ＝αxｐx＋αyｐy＋αzｐz＋ｉβｍ

　　αx^2＝αy^2＝αz^2＝−β^2＝１

　　αxαy＝−αyαx，αyαz＝−αzαy，αzαx＝−αxαz

という方法であった．

　ディラック方程式は

　　Ｅψ＝（α・ｐ＋ｉβｍ）ψ

で表される．実際には４×４行列で書かれているが，実質的にはハミルトンが８０年前に考案した四元数を再発見したことになる．

　　［参］マッケンジー「世界を変えた２４の方程式」創元社

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【１】４元数と行列

　積の交換法則が成り立たない代数として「行列」があります．

　　Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］　　　Ｊ^2＝−Ｅ

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

とおけば，

　　Ａ＝［ａ1，−ａ2］

　　　　［ａ2，　ａ1］

は

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ

と表されます．

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ，Ｂ＝ｂ1Ｅ＋ｂ2Ｊ

の形の行列全体は加法および乗法に関して閉じています．

　　Ａ＋Ｂ＝（ａ1＋ｂ1）Ｅ＋（ａ2＋ｂ2）Ｊ

　　ＡＢ＝（ａ1ｂ1−ａ2ｂ2）Ｅ＋（ａ1ｂ2＋ａ2ｂ1）Ｊ

乗法の可換性は成立しません．すなわち，【１】節では行列による表現を利用して複素数を導入したわけですが，類似の方法で４元数を行列の中に実現させる方法もあります．

　　Ｅ＝［１，０，０，０］

　　　　［０，１，０，０］

　　　　［０，０，１，０］

　　　　［０，０，０，１］

　　ｉ＝［０，−１，０，　０］　　ｊ＝［０，　０，−１，０］

　　　　［１，　０，０，　０］　　　　［０，　０，　０，１］

　　　　［０，　０，０，−１］　　　　［１，　０，　０，０］

　　　　［０，　０，１，　０］　　　　［０，−１，　０，０］

　　ｋ＝［０，０，　０，−１］　　Ａ＝［ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4］

　　　　［０，０，−１，　０］　　　　［ａ2，　ａ1，−ａ4，　ａ3］

　　　　［０，１，　０，　０］　　　　［ａ3，　ａ4，　ａ1，−ａ2］

　　　　［１，０，　０，　０］　　　　［ａ4，−ａ3，　ａ2，　ａ1］

とおけば

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2ｉ＋ａ3ｊ＋ａ4ｋ

と書くことができます．

　この体系では，４元数同様，

　　ｉ^2＝−Ｅ，ｊ^2＝−Ｅ，ｋ^2＝−Ｅ，

　　ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，

　　ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ

なる性質をもっていて，加法および乗法に関して閉じています．また，乗法の可換性は成立しません．

　この体系を用いると，

　　（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅ＝−（ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ）^2

　　（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2）Ｅ＝（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）

のように，虚数単位ｉを陽に用いることなしに２つの行列の積に分解できますが，それでは４元数そのままであって，虚数単位ｉを使ったパウリ行列やディラック行列よりも面白味に欠けるかもしれません．

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　行列ｊを変更して

　　ｉ＝［０，−１，０，　０］　　ｊ＝［０，０，−１，　０］

　　　　［１，　０，０，　０］　　　　［０，０，　０，−１］

　　　　［０，　０，０，−１］　　　　［１，０，　０，　０］

　　　　［０，　０，１，　０］　　　　［０，１，　０，　０］

　　ｋ＝［０，０，　０，−１］　　Ａ＝［ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4］

　　　　［０，０，−１，　０］　　　　［ａ2，　ａ1，−ａ4，−ａ3］

　　　　［０，１，　０，　０］　　　　［ａ3，　ａ4，　ａ1，−ａ2］

　　　　［１，０，　０，　０］　　　　［ａ4，　ａ3，　ａ2，　ａ1］

とおくと，Ａの上三角部分，下三角部分が歪対称（ｇij＝−ｇji）になるので，形がスッキリすると思われます．

　ところが，実際にやってみると

　　ｊ^2＝−１

は成り立つものの

　　ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，

　　ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ

が成立しません．なかなかうまくはいかないものです．

　なお，８元数：

　　ｉ^2＝ｊ^2＝ｋ^2＝ｌ^2＝ｍ^2＝ｎ^2＝ｏ^2＝−１，

　　ｉ＝ｊｋ＝ｌｍ＝ｏｎ＝−ｋｊ＝−ｍｌ＝−ｎｏ，

　　ｊ＝ｋｉ＝ｌｎ＝ｍｏ＝−ｉｋ＝−ｎｌ＝−ｏｍ，

　　ｋ＝ｉｊ＝ｌｏ＝ｎｍ＝−ｊｉ＝−ｏｌ＝−ｍｎ，

　　ｌ＝ｍｉ＝ｎｊ＝ｏｋ＝−ｉｍ＝−ｊｎ＝−ｋｏ，

　　ｍ＝ｉｌ＝ｏｊ＝ｋｎ＝−ｌｉ＝−ｊｏ＝−ｎｋ，

　　ｎ＝ｊｌ＝ｉｏ＝ｍｋ＝−ｌｊ＝−ｏｉ＝−ｋｍ，

　　ｏ＝ｎｉ＝ｊｍ＝ｋｌ＝−ｉｎ＝−ｍｊ＝−ｌｋ

では，乗法の結合法則も破れていて（ａ（ｂｃ）≠（ａｂ）ｃ），積の交換法則も結合法則も成り立ちませんが，それでも分配法則は成り立っています．行列は結合法則を満たすので，８元数は行列の一部とはみなせないのです．なお，結合法則が成り立たない数の体系（非結合的な体）としては，８元数，リー代数，ジョルダン代数の３つが代表的です．

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