素数の分布は不規則かつ複雑で未知の部分が多いのですが，１８世紀から１９世紀にまたがって活躍したガウスは「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え，素数定理を予想しました（１７９２年：ガウスは当時１５才であった）．

　素数定理とは，

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

というものです．ここで，π（ｘ）は任意の整数ｘを越えない素数の個数を表すものとします．すなわち，素数定理はｘを超えない素数の個数を与える近似的な公式であって，ｘに近い２つの連続した素数間の平均距離はおよそｌｏｇｘだといってもよいでしょう．

　１８５０年に，ロシアの数学者チェビシェフは，ベルトランの仮説と呼ばれる命題：任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），あるいは同じことですが，素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という定理を証明しました．

　この証明は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．（なお，ベルトランの仮説に対しては，ずっと簡単な証明がラマヌジャンやエルデシュ（１９３２年，１９歳）によって与えられています．）

　さらに，チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）が０．９２１２９と１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　チェビシェフの定理は，大きな数の場合，この近似値の誤差は１１％以下であるというものですが，もちろん現実にはずっと小さいわけです．

　この漸近評価を得るためにチェビシェフは，オイラーによって１７４０年に考案されたゼータ関数（のちにリーマンがこの名前を付けた）を利用しました．また，この結果を得るのには非常に巧みな組み合わせ的推論が用いられているのですが，漸近評価の一部は不等式

　　２^2n／（２ｎ＋１）≦2nＣn≦２^2n

に基づいています．上界はΣ2nＣk＝２^2nより明らか，下界は２ｎ＋１個の二項係数の中で2nＣnが最大であり，平均が２^2n／（２ｎ＋１）であることから証明されます．この評価は簡単ではありますが，かなり正確です．

　2nＣnについては，さらに正確な評価を与える

　　２^2n／（２√ｎ）≦2nＣn≦２^2n／√２ｎ

などの評価式もしばしば使われます．また，スターリングの公式を使うとより精密な結果

　　2nＣn〜２^(2n)／√（πｎ）

が得られますが，この評価は数論，素数定理などとも関係しています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　チェビシェフはゼータ関数を使って素数を数え上げたのですが，それがこの分野を大きく前進させたのですが，１８５９年，進歩をさらに押し進めたのが，リーマンです．現在，ゼータ関数がチェビシェフ・ゼータ関数でなく，リーマン・ゼータ関数と呼ばれる所以です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝