数式と戯れる喜びを知っていたラマヌジャンは，平方根が入れ子状に無限に続く

　　√（１＋２√（１＋３√（１＋４√（１＋・・・））））

の値を求めよという問題をインド数学会誌に投稿している．

　　［参］カニーゲル「無限の天才」工作舎，ｐ９０

　しかし，この問題に対する読者からの解答は寄せられず，結局答えたのは出題者であるラマヌジャン本人であったとのことである．今回のコラムではラマヌジャンのクイズを取り上げることにしたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ラマヌジャンのクイズ

　ラマヌジャンのクイズの前に，もし，

　　√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋・・・））））

の値はという問題であれば，

　　ｘ＝√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋・・・））））

とおくと，

　　√（１＋ａｘ）＝ｘ　→　ｘ^2−ａｘ−１＝０

より，

　　ｘ＝（ａ＋√（ａ^2＋４））／２

を得ることができる．

　ａ＝１のとき，

　　√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

　ラマヌジャンのクイズ

　　√（１＋ａ√（１＋（ａ＋１）√（１＋（ａ＋２）√（１＋・・・））））

の値はという問題であれば，

　　ｆ（ｘ）＝√（１＋ｘ√（１＋（ｘ＋１）√（１＋（ｘ＋２）√（１＋・・・））））

とおくと，

　　√（１＋ｘｆ（ｘ＋１））＝ｆ（ｘ）

　　ｆ（ｘ）^2＝１＋ｘｆ（ｘ＋１）

　しかし，このような非線形関数等式の一般解を直接求めるのは一般に困難である．たとえば，超幾何関数経由で初等関数や特殊関数に変換するために，項比ｆ（ｘ＋１）／ｆ（ｘ）を調べる方法は適用できない．

　そこで，ｆ（１）＝１，ｆ（１）＝２，・・・などとおいて周期性を調べてみる．するとｆ（１）＝２とおいたときだけ周期性をもつ関数列となる．はじめの数項を計算すると

　　ｆ（１）＝２，ｆ（２）＝３，ｆ（３）＝４，ｆ（４）＝５，ｆ（５）＝６，・・・，

　これより，すべてのｘに対して

　　ｆ（ｘ）＝ｘ＋１

であることが推測できるが，数学的帰納法の証明の範疇であろう．

　以上より，求める値はｆ（２）＝３である．

　　√（１＋２√（１＋３√（１＋４√（１＋・・・））））＝３

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　なお，この関数等式を満たすひとつの解は

　　ｆ（ｘ）＝ｘ＋１

で与えられるが，

　　［参］平松豊一「初等数学アラベスク」牧野書店

では他の解があるかどうかを調べ，ｆ（ｘ）＝ｘ＋１がその唯一の解であることを証明している．

　上限・下限を

　　（ｘ＋１）／２＜ｆ（ｘ）＜２（ｘ＋１）

と粗く評価して，その評価を繰り返せば

　　（ｘ＋１）／２^1/2^k＜ｆ（ｘ）＜２^1/2^k（ｘ＋１）

ここで，ｋ→∞とすれば，

　　ｆ（ｘ）＝ｘ＋１

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝