和算は１７〜１８世紀の江戸時代，関孝和や建部賢弘によって発展した日本独自の数学である．日本では江戸期のほとんどを鎖国政策をとったため，この長い鎖国の間に西洋数学とは異なる数学が生まれたのである．
和算は同時代の西洋数学（ニュートンやライプニッツ）としばしば比較されるが，年代的には西洋よりも古いものがある．たとえば数学の問題を神社仏閣に奉納した「算額」には円や球，三角形に関した幾何の問題が多くあるが，マルファティの問題やソディーの問題は和算家がより早く発見しているという．
「算額」は数学と芸術が一体化したものと考えられるから，数学的な出版物というよりは芸術的な文化遺産である．これらはきれいに彩色され，日本人は産額の中に造形に対する鋭い感覚を生み出していたと考えられる．
日本国内よりも海外における評価のほうが高いという主客転倒を抱えてはいるものの，和算の到達点のそれなりの高さは少なくとも数学に関心をもつ人達によって高く評価されている．今回のコラムでは算額の美しさを鑑賞してみることにしよう．
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［補］ニュートンとほとんど同じ頃，和算の大家で算聖あるいは和算中興の祖とうたわれる関孝和が生れています（１６４２年）．ライプニッツが行列式の元祖ということになっているのですが，世界で最初に行列式に気がついたのは関孝和で，連立方程式の変数の消去法として行列式の展開を正しく行っています（１６８３年）．
ヨーロッパではライプニッツがやはり連立一次方程式の解法に関連して行列式の計算を行っているのですが，それは１０年後の１６９３年のことで，孝和自身はライプニッツに先んじて行列式を導入していました．したがって，孝和を行列式の祖とする言は，手前味噌でも贔屓の引き倒しでもありませんし，また，関孝和はベルヌーイ数｛Ｂn ｝をベルヌーイが見いだす前に見つけていたのです．さらに，和算家の久留島義太もラプラス以前に行列式のラプラス展開を見いだしています．和算は幾何学ばかりでなく，代数学の分野でも卓越していたことを補足しておきます．
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【１】円に関する問題・・・デカルトの円定理
（Ｑ）互いに外接する３個の円（半径ｒ1，ｒ2，ｒ3）がある．これらすべてに外接する円の半径ｒを求めよ．
（Ａ）ｒ＝ｒ1ｒ2ｒ3／｛ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1＋２√ｒ1ｒ2ｒ3（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）｝
＝１／｛１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋２√（１／ｒ1ｒ2＋１／ｒ2ｒ3＋１／ｒ3ｒ1）｝
相異なる２つの球面Ｓ1，Ｓ2の中心をｘ1，ｘ2，半径をｒ1，ｒ2とするとき，Ｓ1，Ｓ2が接するための必要十分条件は
｜ｘ1−ｘ2｜＝｜ｒ1±ｒ2｜
となることである．±は外接か内接かに対応している．
一般にＲ^n内の互いに接するｎ＋２個の球面の系があるとする．このとき，接点がすべて異なるならばこれらｎ＋２個の球面はすべて外接するか，または，ある球面が他のｎ＋１個の球面を含むことになる．このような互いに接するｎ＋２個の球面の系については，球面の半径の逆数に関する単純な等式がある．
（Σ１／ｒi）^2＝ｎΣ（１／ｒi）^2
ただし，Ｓjが他の球面をすべて含むときはｒj＝−（Ｓjの半径）とする．このようにすることで，接する２つの球面間の距離が常に｜ｘi−ｘj｜＝｜ｒi＋ｒj｜で表される．
ｎ＝２の場合，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式
（Σ１／ｒi）^2＝２Σ（１／ｒi）^2
が成立し
（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）
１／ｒ^2＋２／ｒ（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）＋（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）
１／ｒ^2−２／ｒ（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）−（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）＋２（１／ｒ1ｒ2＋１／ｒ2ｒ3＋１／ｒ3ｒ1）＝０
この２次方程式を整理すると（Ａ）と同じ式が得られる（デカルトの円定理）．ｎ＝２，３の場合は和算家達によっても得られていた（デカルトの円定理の拡張）．
（Ｑ）与えられた円（半径Ｒ）の内部に互いに外接する３個の等円（半径ｒ）があるとき，ｒを求めよ．
（Ａ）この場合は
（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）
において，ｒ1＝ｒ2＝ｒ3＝ｒ，ｒ＝−Ｒとする． → ｒ＝（２√３−３）Ｒ
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【２】円と三角形に関する問題・・・フォイエルバッハの９点円
（Ｑ）３個の傍接円（半径ｒ1，ｒ2，ｒ3）に接する円（フォイエルバッハの９点円）の半径を求めよ．
（Ａ）ｒ＝（ｒ1＋ｒ2）（ｒ2＋ｒ3）（ｒ3＋ｒ1）／８（ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1）
フォイエルバッハの９点円が三角形の内接円と傍接円の各々に接するなど，三角形のような簡単な図形が無数に未知の性質を有することはまことに不思議なことです．平面図形の中で３本またはそれ以上の直線が１点で交わっていることを主張する定理が共点定理です．三角形の５心とは内心，傍心，重心，外心，垂心を指しますが，たとえば，三角形の各頂点から対辺に引いた３つの中線や垂線は１点に会するなど，三角形の５心の存在は共点定理の例となっています．幾何学の基本形である三角形の性質について，もう一度見直してみることにしましょう．
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［補］三角形の５心
三角形の５心とは内心，傍心，重心，外心，垂心を指しますが，内心は内角の２等分線，傍心は１内角と２外角の２等分線，重心は中線，外心は辺の垂直２等分線，垂心は頂点から対辺への垂線が１点に会した共点です．
このうち，三角形の内心は３辺への距離のうちで一番小さいものが最大となる点（マックスミニ点），外心は３頂点に至る最大距離が最小となる点（ミニマックス点）です．同様に，垂心は三角形に内接する三角形の周長が最小になる点，重心は３頂点に至る距離の２乗の和が最小となる点です．
外心と重心の中点はフォイエルバッハの９点円の中心であり，フォイエルバッハの９点円は各辺の中点，各頂点から対辺へ下ろした垂線の足，頂点と垂心の中点の９個の点を通る円となっています（１８２１年：ポンスレとブリアンション）．
このことから，オイラー線（１７６７年）は外心・重心・垂心・フォイエルバッハの９点円の中心を相互に結ぶ直線ということになりますし，フォイエルバッハの９点円の中心はオイラー線の中点で，その半径は外接円の半径の半分となります．
さらに，フォイエルバッハの９点円が三角形の内接円と傍接円の各々に接する，９点円には他にも多くの特別な点が含まれているなど，三角形のような簡単な図形が無数に未知の性質を有することはまことに不思議なことです．
また，ユークリッドは３つの角を２等分することで内心を見つけたのですが，モーリーは３つの角を３等分するとどうなるかを問題にして，モーリーの定理「任意の三角形において，各内角の３等分線の隣同士の交点を結んで得られる三角形は正三角形である」を発見しました（１８９９年）．この驚くべき基本的な定理が２０００年という長い間，２０世紀直前にいたるまで発見されなかった理由は角の３等分問題は解けないことが判明していたところにあるのでしょう．
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【３】円と三角形に関する問題・・・マルファティの問題
（Ｑ）与えられた三角形の内部に，それぞれ２辺ずつに接し，互いに外接する３個の円を作図せよ．
・・・というのがマルファティの問題である．イタリアのマルファティが１８０３年に提唱し，約２０年後，スイスのシュタイナーが定規とコンパスによる作図に成功した．しかし，安島直円がこの問題を与えその解答を述べたのはマルファティの論文よりも約３０年前のことである．
（Ｑ）互いに外接する３個の円（半径ｒ1，ｒ2，ｒ3）がある．これらに外接する三角形に内接する円の半径ｒを求めよ．
（Ａ）ｒ＝２√ｒ1ｒ2ｒ3／｛√ｒ1＋√ｒ2＋√ｒ3−√（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）｝
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マルファティは３個の円の面積の和が最大になると信じていたらしいが，今日ではどのような三角形についてもマルファティの円は最大面積を与えるものではないことが証明されている．たとえば，正三角形について計算すると，マルファティの３個の円の和よりも，内接円とそれに外接しそれぞれ２辺に接する２個の小円の和のほうわずかに大きいことが計算できる．
ところで，３次元空間の四面体では必ずしも３面に接し互いに外接する４個の球を作ることができない．また，正四面体については互いに接する４個の球が４個の球の体積を最大にするらしい（少なくとも内接球と３個の小球の和よりも大きい）．これらは平面幾何学の問題を３次元あるいはそれ以上に拡張する困難さを示している．
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【４】球に関する問題・・・ソディーのhexlet（６球連鎖）
ソディーの定理（１９３６年）とは「半径ａ，ｂ，ｃなる互いに接する３個の球Ｋ1，Ｋ2，Ｋ3のどれにも接する球Ｓiの鎖の数は，常に６個となり，球の半径の逆数をρi (i=1~6)とすると
ρ1＋ρ4＝ρ2＋ρ5
が成立する」というものである．
この定理も１００年以上も前に和算家が得ていたものであるが，これには４個の互いに接する球に関するデカルトの定理
（Σ１／ｒi）^2＝３Σ（１／ｒi）^2
が使われている．ソディーは同位元素の研究でノ−ベル化学賞を受賞した化学者であるが，彼もまたデカルトの定理を再発見したのである．
とくに，球Ｋ1（ｒ）内に互いの外接する２個の等しい球Ｋ2（ｒ／２），Ｋ3（ｒ／２）が内接していて，それらに外接する６個の等しい球Ｓ1-6がループを作っているとき，その半径はｒ／３となる．
また，半径Ｒの球に正四面体をなすように互いに外接する４個の半径の等しい大球（半径ｒ1）を内接させる．正四面体の各面の中心の隙間に４個の中球（半径ｒ2），その隙間に１２個の小球（半径ｒ3）をおくと，６個の内接球ｒ1ｒ2ｒ3ｒ3ｒ2ｒ1のループができる．
このとき
ｒ1＝（√６−２）Ｒ，
ｒ2＝（√６−２）Ｒ／５，
ｒ3＝（３√６−２）Ｒ／２５
を得るが，これは１０才の少年により提出された和算の問題だそうである．有名なソディーと無名の１０才の少年・・・．
［参］深川英俊・ダンペドー「日本の幾何−何題解けますか？」森北出版
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［補］反転の応用
接する円の族に関する定理では何百という美しい定理があるが，シュタイナー円鎖について述べておきたい．小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．これがシュタイナー円鎖である．
最も簡単なものとしては，たとえば，半径が３と１の同心円に対しては６個の単位円よりなるシュタイナー円鎖が存在し，円の中心の軌跡は半径２の円となる（円の最密充填）．
シュタイナー円鎖をなす円の中心の軌跡は楕円となる．アルキメデスのアルベロス（靴屋のナイフ）円列はシュタイナーの円鎖の特別な場合になっていて，円の中心はすべて基線上に長径をもつ楕円の上にのっている．
ソディー（アイソトープの発見でノーベル賞を受賞した英国の化学者）の６球連鎖はシュタイナー円鎖の３次元版であるが，シュタイナー円鎖の場合とは異なって，球連鎖は常に繋がり必ず６個の球からなる．そして６個の球の中心，球同士の接点はすべて同一平面上にあるのである．
反転によって，接する２円は接する２円か，円とその接線か，平行な２直線のいずれかにに移る．また，平面上の交わらない２つの円を同心円に移す写像が存在する．シュタイナーやソディーの定理はこれらの事実に基づいて証明されるのである．
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［補］２つの定理
［１］シュタイナーの定理
小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．このとき，最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす．
［２］ポンスレーの定理
小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．
２つの定理に共通する特徴は２つの円が同心円ならば自明であるということである．シュタイナーの定理はメビウス変換により同心円の場合に帰着させて証明できるが，ポンスレーの定理ではそれができない．
ポンスレーの定理の場合，直線を直線に移す円板の変換が必要になるが，それは
ｘ’＝（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）
ｙ’＝（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）
という形の（実）変換である．また，ポンスレーの定理は２つの円を２つの楕円の置き換えても成立する．
ポンスレーの定理においてｎ＝３の場合，一方の円（半径Ｒ）に内接し，もう一方の円（半径ｒ）に外接する三角形は無数にある．これが成り立つための条件は２つの円の中心間距離をｄとして，
Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2
となることである（オイラーの定理）．
四角形やそれ以上のｎ角形についても同様の定理が成り立ち，ひとつの円に内接し，他の円に外接する四（ｎ）角形は無数にある．オイラーの定理のｎ角形版として，フースの定理が知られている．たとえば，内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，
２Ｒ^2（ｒ^2＋ｄ^2）＝（ｒ^2−ｄ^2）^2 （フースの定理）
が成り立つ．フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけている．
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