すべてのリー群にはリー代数が付随します．リー群に対応するリー環はドイツ文字の小文字を用いて表されるのが通例となっているようですが，ここでは通常の小文字で代用します．

　　［参］佐藤肇「リー代数入門」裳華房

から，古典型リー代数の例を拾い上げてみましょう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　行列Ｘの対角成分の和をＴｒ（Ｘ）で表すと，ｎ次特殊線形群ＳＬ（ｎ）に対応するリー環は

　　ｓｌ（ｎ）＝｛Ｘ｜Ｔｒ（Ｘ）＝０｝

で定義されます．トレースが０という制限は行列式が１という条件からくるものなのですが，自由度を１だけ減らすため，ｎ^2−１次元のリー代数になります．

　また，正方行列Ｊを１つ固定して

　　｛Ｘ｜Ｘ’Ｊ＋ＪＸ＝０｝

と定めます．このとき，Ｊ＝Ｅn（単位行列）とおくと，ｎ次直交群に対応するリー環

　　ｏ（ｎ）＝｛Ｘ｜Ｘ’＋Ｘ＝０｝

は交代行列（Ｘ’＝−Ｘ）全体のなす群で，次元がｎ（ｎ−１）／２のｎ次直交リー代数と呼ばれます．

　さらに，単位行列をブロック状・反対称に配した行列

　　Ｊ＝［０，　Ｅm］

　　　　［−Ｅm，０］

をとると，

　　Ｓｐ（ｍ）＝｛Ｘ｜Ｘ’Ｊ＋ＪＸ＝０｝

はｍ次シンプレクティックリー代数となります．このときの次元はｍ^2＋ｍとなります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［補］クリフォード代数

　クリフォード代数とは，反対称交換関係

　　［Γi，Γj］＝ΓiΓj＋ΓjΓi＝２δij

満たす行列Γの組のことで，δはクロネッカーのデルタです．

　　δij＝Ｅ（ｉ＝ｊ）

　　　　＝０（ｉ≠ｊ）

　交換子積

　　［Ｘ，Ｙ］＝ＸＹ−ＹＸ

は行列の積の非可換性を図るためのものなのですが，物理学における超対称性変換はリー環をなさないので，２つの超対称変換の非可換性を図るには交換子でなくて，反交換子を使う必要がでてきます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝