【１】有限単純群の分類

　単純群とは，自分自身と単位群だけからなる自明なものを除いて，正規部分群を含まない群をいいます．

　位数ｎを与えると，｜Ｇ｜＝ｎとなる単純群の個数は０，１，２であって，０の場合が圧倒的に多く，単純群の個数は少ない，すなわち，それはある意味で，整数における素数のような存在の基本的な群といってよいのですが，単純群に帰着できるものが，数学的に最も興味ある群の性質と考えられ，かくして単純群を分類しつくすことが，群論の最も基本的な課題となったのです．

　単純群の分類問題はブラウワーが提唱し，ザッセンハウスの論文（１９３６）により本格的に始動します．単純群は

　　(1)素数位数の巡回群

　　(2)５次以上の交代群

　　(3)リー型の単純群

　　(4)散在型単純群

の４種類に分かれるのですが，今日では有限単純群の分類は完成し，合計１８の無限系列と２６個の散在群に限ることがわかっています．

　単純群には１８の無限族があります．素数位数の巡回群Ｃnと交代群Ａn（ｎ≧５）以外に，（分類の仕方によって若干変わってくるのですが）６つの族が古典群の研究からわかり，残りの１０個の族はあるリー代数から構成されます．しかし，この分類にあてはまらない単純群が２６個あり，バーンサイドによって，散在型群と呼ばれています．

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［１］素数位数の巡回群

　無限個ある．ただし，無限系列のうち，素数位数の巡回群は可換群であって，ほかと性格が異なるので除外することが多い．すなわち，単純群といえば非可換単純群を指す．

［２］５次以上の交代群

　無限個ある．ｎ≧５についてＡnは単純群となるが，５次以上の代数方程式に代数的解法がない（＝方程式の係数間の加減乗除とベキ根ととるという操作によって得られない）のは，この性質の基づくことが，アーベル・ガロア理論から明確になった．そのとき使われたアイデアが群と呼ばれる概念で，対称変換群の性質により，この難問がこともなげに解けてしまうのである．

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［３］リー型の単純群

　無限個ある．Ａ型からＧ型まで７種類あるとしてよく，さらにまた１６種類に細分することができる．

　ドイツのキリングとフランスのカルタンのよる単純リー群（詳しくは複素コンパクト型単純リー群，古典線形群はみな含まれる）の分類の成功が大きな影響を与えた．既約ルート系の分類の基づいて，複素単純リー代数の分類を行ったものがカルタンの分類定理であり，それは『いかなる複素単純リー代数もＡk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものに限られる．』というもので，Ａk，Ｂk，Ｃk，Ｄk型の複素単純リー代数は古典型，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のものは例外型と呼ばれる．

　階数１のルート系はＡ1の１種類に限られ，既約である．また，階数２のルート系はＡ1×Ａ1，Ａ2，Ｂ2，Ｇ2の４種類に限られる．Ａ2型，Ｂ2型，Ｇ2型のルート系は既約であるが，Ａ1×Ａ1型のルート系は既約でない．階数ｎの既約ルート系は，Ａk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のいずれかなのである．

　ここで，複素単純リー代数の階数と次元との関係を表にしておく．

　　(1)Ａk（ｋ≧１）　同次特殊線形群，k(k+2)次元

　　(2)Ｂk（ｋ≧２）　直交群，2k+1変数の２次形式，k(2k+1)次元

　　(3)Ｃk（ｋ≧３）　斜交群，2k変数のパッフ形式，k(2k+1)次元

　　(4)Ｄk（ｋ≧４）　直交群，2k変数の２次形式，k(2k-1)次元

　　(5)Ｅ6　　　　　　７８次元

　　(6)Ｅ7　　　　　　１３３次元

　　(7)Ｅ8　　　　　　２４８次元

　　(8)Ｆ4　　　　　　５２次元

　　(9)Ｇ2　　　　　　１４次元

（カルタンによりコンパクト単純リー群は，例外的なものを除き，Ａ型，Ｂ型，Ｃ型，Ｄ型の４系列をなしていることが知られているが，そのうちの２系列

　　Ｂ型　　　ＳＯ（２ｎ−１）（ｎ≧２）

　　Ｄ型　　　ＳＯ（２ｎ）　　（ｎ≧３）

は回転群である．Ｂ型とＤ型はそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何に対応している．なお，ｎ＝４が例外であることがこのことからもみてとれる．）

　幾何学に群を積極的に応用することを最初に主張したのがクラインのエルランゲン・プログラム「空間内の距離を変えない変換は，群（合同変換群）をなす．幾何学とは合同変換群で不変な図形の性質を研究する分野である．」である．

　単純リー群には９つの型がある．それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの無限系列とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外群であった．キリングやカルタンの研究は面白い幾何学がどれだけできるかという設問に対する解答でもあり，大ざっぱにいえば，Ａ型が複素ユニタリ幾何，Ｂ型とＤ型がそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何，Ｃ型が４元数上の幾何学，５つの例外型は８元数上の幾何学に対応しているのである．

　４つの古典群，５系列の例外群，さらにそのうちで対称性をもつＡ，Ｄ，Ｅ6，Ｄ4の４系列，疑似対称性をもつＢ2，Ｇ2，Ｆ4の３系列で１６系列，素数位数の巡回群と交代群も含めて総計１８系列に細分される．

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［４］散在型単純群

　代数群などの分野からは発見され得ないし，古典群，交代群のように無限系列にはいっていないという意味で，散在型単純群と呼ばれる単純群が２６個ある．

　一番小さいのが，１１個の文字の上の置換群であるマシュー群Ｍ11（位数：７９２０），一番大きいものが，モンスター（位数：２^46・３^20・５^9・７^6・１１^2・１３^3・１７・１９・２３・２９・２１・４１・４７・５９・７１）で，モンスターの位数はなんと５４桁にものぼる．

　２６個の散在型単純群の歴史は，実に１００年にわたっている．マシュー群と呼ばれている５種類の単純群Ｍ11，Ｍ12，Ｍ22，Ｍ23，Ｍ24が発見されたのは１８６０〜６１年である．マシュー群の発見以後，１００年あまりの空白期を経て，ジャンコーが１９６５年６番目の散在型単純群Ｊ1を発見する．

　これを皮切りに，それから１０年という短い間に有限単純群の残りの２０個，鈴木群（イリノイ大学），原田群（オハイオ大学），コンウェイ群，ベビーモンスター群，モンスター群，・・・が次々と発見されてしまった．この段階では，結合法則の検証にコンピュータが使用されているが，モンスターは計算機に載せて計算できるような代物ではない．

　美しい怪物は，１９７３年，イギリスのケンブリッジ大学で誕生し，コンウェイによりモンスターと命名・愛称された．モンスターを線形群の中に埋め込むとすると，最低でも１９６８８３次の行列ＧＬ（１９６８８３，Ｒ）が必要になる．すなわち，１９６６８３次元空間上の線形変換の集まりとして初めてモンスターを捉えることができるのである．

　モンスターの発見と構成は２６個の散在型単純群の中でも特異な位置を占めていて，２６個の散在群のうち，２０個がモンスターの部分群として現れるのである．

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