ガウス平面で正５角形の頂点を表す４次方程式

　　ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^8でわり，

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／５）

と変数変換すると２次方程式

　　ｙ^2＋ｙ−１＝０

に帰着され，

　　ｙ＝（√５−１）／２＝２ｃｏｓ（２π／５）

　　ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４

が得られる．

　しかし，ガウス平面で正１７角形の頂点を表す１６次方程式

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^8でわり，

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／１７）

と変数変換をし，最後に２次方程式に帰着させるというストーリーは数値解

　　ｙ＝１．８６４９４

しか得られず，失敗に終わった．

　阪本ひろむ氏から聞いたところによれば，遠山啓の「数学入門」に「労多くして益なし」に関した笑い話があるそうだ．

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　阪本：何角形だったか忘れたが，ある数学の先生ができの悪い学生に，おまえなんか正２５７角形の作図でもしていろ！としかった．その学生は姿を消し，数十年後に恩師のもとを訪れた．彼は正２５７角形の作図方法を書いた論文を師に渡し息絶えた・・・．ネタ本は岩波新書の「数学入門」（全三冊）だったと思う．最近，再刊されているらしいから，ネタの内容確認をお願いする．ひょっとしたら正６５５３７角形だったかもしれない．その方が話としてはおもしろい．

　佐藤：なるほど．しかし，私は正１７角形でもままならないかったというわけか・・・．

　私にとっては笑うに笑えない話だった．やはり「ガウスは天才だった」のだ．

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　辺数３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６の正多角形は作図できますが，辺数７，９，１１，１３，１４の正多角形は作図できないことから，正１７角形もそうであろうと推察されます．ところが，１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつき，のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２^2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．

　正７角形も正９角形も作図できないのに，まさか正１７角形が作図できるとはと思うのが普通なのでしょうが，このことを用いると，ｍ＝０のとき正３角形，ｍ＝１のとき正５角形，ｍ＝２のとき正１７角形となり，作図可能であることがわかります．当然，ずっと面倒になるでしょうが，正２５７角形（ｍ＝３），正６５５３７角形（ｍ＝４）も作図可能です．

　２^2^m＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．フェルマー素数はガウスによって１世紀にわたる眠りから覚まされ，数論と幾何学に新たな美しさを吹き込んだことになります．フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｍ＝５のときは素数ではなく，現在，ｍ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．６番目のフェルマー素数の探索がコンピュータを使ってなされていますが，はたして本当に存在するのでしょうか．

　アルキメデスは円柱とそれに内接する球の体積比が３：２であることを発見した記念に，自分の墓の上に円柱の形をした記念碑をおくように遺言したといわれています．アルキメデスと同じように，ガウスは正１７角形を墓石に彫るよう遺言しています．このことはガウス自身がその発見をいかに重視したかを物語っています．数々の大発見をしたガウスですが，１９才の青年がアルキメデスをもってしてもできなかった古代ギリシア以来２０００年の謎を解いたのですから，まさに驚きとしかいいようがありません．この正１７角形の作図は彼を本格的に数学の道に入らせるきっかけとなったといわれています．

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