■群論と平行多面体
平行多角形とは平行移動するだけで2次元空間を埋めつくすことのできる単独の多角形であって,平行六辺形と平行四辺形の2種類しかない.この中で,平行六辺形が原始的平行多角形である(1 primitive, 1 non-primitive).
平行多面体は結晶構造と深く関係していて,3次元ではロシアの結晶学者フェドロフの見つけた5種類の平行多面体−立方体,6角柱,菱形12面体,長菱形12面体,切頂8面体−しかない.この中で,切頂8面体が原始的平行多面体と呼ばれる.(1 primitive, 4 non-primitive)
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【1】平行多面体の5種とミンコフスキーの定理
フェドロフの平行多面体とは平行移動するだけで3次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって,平行辺(したがって平行四辺形面,平行六辺形面に限られる),平行面から構成されている多面体である.フェドロフの平行多面体には立方体,6角柱,菱形12面体,長菱形12面体,切頂8面体の5種類しかないことが証明されている(1885年).
立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる.単純立方格子状配置,すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについてはこれ以上説明するまでもないだろう.立方体以外の単一多面体による空間充填体としては,菱形十二面体や切頂八面体がよく知られている.両者はしばしば対比され,どちらも単独で空間充填可能な立体図形であるが,菱形十二面体が面心立方格子(立方体の8個の頂点と6個の面の中心に原子が配置されている構造)のボロノイ図(隣り合った2点を結ぶ線分の垂直二等分面を次々に引いていくことによりできる多面体パターン)であるのに対して,切頂八面体は体心立方格子(立方体の8個の頂点と重心原子が配置されている構造)のボロノイ図となっている.
これら5種類の図形は3次元格子の幾何学的分類であり,5種類の正多面体(プラトン立体)ほどよく知られていないが,少なくとも同じ程度に重要であるし,結晶学の観点からすると平行多面体は正多面体以上に重要であると考えられる.結晶格子には面心立方格子,体心立方格子,単純立方格子,六方晶格子などの別があるが,結晶の骨格の基本形はフェドロフの平行多面体に限定されるといってよいからである.
平行多面体による空間充填形はもっと高い次元の立方格子の3次元への射影になっている.平行多面体のうち14面体は切頂8面体だけであるが,切頂八面体には6組の平行な辺があり,6次元立方体と相同と考えることができる.プリミティブである切頂8面体(f=14,d=6)の辺を点に縮めることによって,長菱形12面体(f=12,d=5)→菱形12面体(f=12,d=4),6角柱(f=8,d=4)→立方体(f=6,d=3)ができる.すなわち,6角柱,菱形12面体は4次元立方体,長菱形12面体は5次元立方体,切頂8面体は6次元立方体を3次元空間に投影したものとなっていて,空間充填図形の基本形は切頂8面体と考えることができる.同様に2次元充填の基本形は6角形である.
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3次元充填の基本形は14面体であることはわかったが,それでは4次元,5次元,・・・,n次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう? どのような形になるのかを知る人はたとえいたとしても非常に少ないであろう.そこで(証明抜きで)次元論の敷石定理について解説する.
「n次元の舗石定理」
[1]n次元空間充填では,各頂点の周りに少なくともn+1個の多面体が集まる(ルベーグ).
[2]n+1個のとき,空間充填の基本細胞の面数は最大2(2^n−1)個である(ミンコフスキー).
すなわち,平行多面体の最多面数は2次元では6角形,3次元では14面体,4次元では30胞体,5次元では62房体となるのである.
そして,そこから派生する4次元平行多面体は52種類(3 primitive, 49 non-primitive),5次元平行多面体は正確かどうか定かではないが10万種類を超えるようだ(222 primitive, 103789 non-primitive).
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