２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在する．この１７種類の対称性は，２次元結晶群としてとらえることができる．このように，自然科学の中で群論が本格的に使われたのは結晶構造のリストアップにおいてである．

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　３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．（結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．）

　この問題は，１８９１年にロシアのフェドロフとドイツのシェーンフリースによって，まったく別々に解かれた．

　１９７４年になって，４次元結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在することが確かめられた．５次元では正確に何種類あるのか，現在のところわかっていない．

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