【１】条件収束する級数

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＝∞

　負の項が２つの連続する正の項をはさんで現れる級数

　　｛１／１＋１／３−１／２｝＋｛１／５＋１／７−１／４｝＋・・・＝３／２ｌｏｇ２

正の項に引き続いて負の項が２つの連続する級数

　　｛１／１−１／２−１／４｝＋｛１／３−１／６−１／８｝＋・・・＝１／２ｌｏｇ２

（証明）

　　｛１／１−１／２−１／４｝＋｛１／３−１／６−１／８｝＋・・・

　　＝１／２ｌｏｇ２を示す．

　与えられた級数は

　Σ｛１／（２ｎ−１）−１／２（２ｎ−１）−１／（２（２ｎ−１）＋２）｝

＝Σ｛１／（４ｎ−２）−１／４ｎ｝

　一方，１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２より

１／２ｌｏｇ２＝１／２−１／４＋１／６−１／８＋・・・

　　　　　　　＝（１／２−１／４）＋（１／６−１／８）＋・・・

　　　　　　　＝Σ｛１／（４ｎ−２）−１／４ｎ｝

　一般に，

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

の項の順序を，正の項をｍ個，負の項をｎ個ずつ交互に並べ替えてできる級数の和は

　　ｌｏｇ２＋１／２・ｌｏｇｍ／ｎ

となる．

［１］ｍ＝２，ｎ＝１→３／２ｌｏｇ２

［２］ｍ＝１，ｎ＝２→１／２ｌｏｇ２

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【２】証明

　並べ替えた数列

｛（１／１＋１／３＋１／５＋・・・＋１／（２ｍ−１））−（１／２＋１／４＋１／６＋・・・＋１／２ｎ）｝＋｛（１／（２ｍ＋１）＋１／（２ｍ＋３）＋１／（２ｍ＋５）＋・・・＋１／（４ｍ−１））−（１／（２ｎ＋２）＋１／（２ｎ＋４）＋１／（２ｎ＋６）＋・・・＋１／４ｎ）｝＋・・・

のｋ次部分和は，

｛（１／１−１／２＋１／３−１／４＋１／５＋・・・＋１／（２ｋｍ−１）−１／２ｋｍ）＋（１／２＋１／４＋１／６＋・・・＋１／２ｋｍ）−（１／２＋１／４＋１／６＋・・・＋１／２ｋｎ｝

＝ｌｏｇ２＋ｏ（１／ｋｍ）＋１／２（ｌｏｇ（ｋｍ）＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／ｋｍ））−１／２（ｌｏｇ（ｋｎ）＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／ｋｎ）

＝ｌｏｇ２＋１／２・ｌｏｇ（ｍ／ｎ）＋ｏ（１／ｋｍ）＋ｏ（１／ｋｎ）

＝

｝＋｛（１／（２ｍ＋１）＋１／（２ｍ＋３）＋１／（２ｍ＋５）＋・・・＋１／（４ｍ−１））−（１／（２ｎ＋２）＋１／（２ｎ＋４）＋１／（２ｎ＋６）＋・・・＋１／４ｎ）｝＋・・・

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