フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示しています．

　また，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2 ，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2．しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　　６５＝５・１３＝（１^2＋２^2）（２^2＋３^2）

ここで，ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝２，ｄ＝３とおくと

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｐ^2＋ｑ^2

［１］ｐ＝ａｃ−ｂｄ，ｑ＝ａｄ＋ｂｃ

　　６５＝４^2＋７^2

［２］ｐ＝ａｃ＋ｂｄ，ｑ＝ａｄ−ｂｃ

　　６５＝１^2＋８^2

　すなわち，

　　６５＝５・１３＝（１^2＋２^2）（２^2＋３^2）＝４^2＋７^2＝１^2＋８^2

のように，２個の平方数の和として２通りの仕方で表されることがわかります．

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【補】ウェアリングの問題

　ウェアリングは４平方和定理を拡張して，「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」ことを証明抜きで主張しました．

　この問題は多くの数学的思考を刺激し，１９０９年に至ってヒルベルトによって，どの数もいくつかのｎ乗数の和で表されることが証明されています．以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます．

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