すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる．

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　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝の形の自然数をｍ角数といいます．すなわち，三角数とはｎ（ｎ＋１）／２，四角数とはｎ^2の形の自然数，すなわち平方数です．

　ガウスは１７９６年の日記に「わかった！　ｎ＝△＋△＋△」と書いていますが，それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味で，ｍ＝３の場合についての証明に相当します．ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて，３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」を用いるとｎ＝△＋△＋△を簡単に示すことができます．

（証明）

４^k（８ｎ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 と書けます．このとき，ｘ＝２ｏ＋１，ｙ＝２ｐ＋１，ｚ＝２ｑ＋１とおくとｎ＝ｏ（ｏ＋１）／２＋ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２

　この定理で，ｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します．フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は，オイラー，ラグランジュ，ルジャンドルなどの研究を経て，１８１３年，コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました．

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　３角数であり平方数であるものは無限に存在します．

（証明）１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^2，すなわち，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２によって定義すると，

　　ａn^2−２ｂn^2＝（ａn＋ｂn√２）（ａn−ｂn√２）

　　　　　　　　　＝（１＋√２）^n（１＋√２）^n＝（−１）^n

また，（１＋√２）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（偶数），ｂn＝ｎ＋（偶数）

よって，ｎを偶数にとるとａn^2−２ｂn^2＝１，ａnは奇数，ｂnは偶数．

そこで，ｙ＝（ａn−１）／２，ｘ＝ｂn／２とおくと，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

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　なお，１以外の３角数は立方数ではありません．

１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^3は，（２ｙ＋１）^2＝（２ｘ）^3＋１と書き換えられるから，楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3＋１の整数解に関する主張だと解釈できる．実は，これには整数点は（２，±３），（０，±１），（−１，０）の５つしかありません．また，この楕円曲線には有理点もやはりこの５つしかないのです．

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