【１】レムニスケートのｎ等分と次数ｎ^2の方程式

　sl(nu),n≧3をsl(u)の関数として表すことは大層複雑である．

　　sl(nu)=0

をsl(u)について解くとかなり次数の高い式が現れると思うのだが，ガウスによれば次数ｎ^2の方程式に帰着されるとある．

　たとえば，ｓ＝ｓｌ（２ω／５）とおくと，ｓｌ（５ｕ）の乗法公式により，ｓは

　　（５−２ｓ^4＋ｓ^8）（１−１２ｓ^4−２６ｓ^8＋５２ｓ^12＋ｓ^16）＝０，

すなわち，２４次方程式の根になるが，因数（ｓ−１）で割り切れることを考慮すると２５次方程式が得られるというわけであるが，この理由がわからない．　　（佐藤郁郎）

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　ガウスがどのような方法をとったかわからない。ただ、n=5の場合も、（かなり怪しい手法をとりながら）なんとか低い次数の方程式がえられた。たとえ、高次であろうと、（因数分解などをして）n^2次方程式が得られること、裏を返すと、高次の方程式を因数分解して、冗長な因子を除去する根拠を見いだしたのだろう。それはsl[u]が0と1の間にあるとか、総合的な判断が出来たのだろう。　　　（阪本ひろむ）

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