有理数＝無理数のような矛盾を導き出したかったのであるが，うまくいかない．

［１］空間充填２（２^n−１）胞体も空間充填２^n＋２ｎ胞体もその二胞角（をπで還元したもの）は等しい（０である）ことから矛盾を導くことはできない．

［２］２（２^n−１）＝２^n＋２ｎ

　　　２（ｎ＋１）！＝２^n・ｎ！

がいずれも成り立つのは，ｎ＝３のときだけである（奇跡的一致）．

［３］空間充填２（２^n−１）胞体｛３，３，・・・，３｝（１，１，・・・，１）が，cubic symmetryをもつのは３次元のときだけである．

　　｛３，３｝（１，１，１）＝｛３，４｝（１，１，０）

　［１］よりも［２］［３］の方が強い条件になっているのだろう．

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　３次元と４次元では重複する場合がある．

　　｛３，３｝（０，１，０）≡｛３，４｝（１，０，０）

　　｛３，３｝（１，０，１）≡｛３，４｝（０，１，０）

　　｛３，３｝（１，１，１）≡｛３，４｝（１，１，０）

　　｛３，３，４｝（０，１，０，０）≡｛３，４，３｝（１，０，０，０）

　　｛３，３，４｝（１，０，１，０）≡｛３，４，３｝（０，１，０，０）

　　｛３，３，４｝（１，１，１，０）≡｛３，４，３｝（１，１，０，０）

　３次元と４次元で重複が存在する理由は，正四面体（正１６胞体）の辺の中点を結ぶと正八面体（正２４胞体）ができるからである．

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