２次元空間充填の基本形は６角形，３次元空間充填の基本形は１４面体，４次元空間充填の基本形は３０胞体となるが，１００年以上前にこのことを考察している人がいた．

　一般に，ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグの舗石定理）．ｎ＋１個のとき，ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個となる（ミンコフスキーの舗石定理）．

　したがって，３次元平行多面体の面数は最大１４面となるし，４次元平行多胞体の胞数は最大３０胞となる．

　　ｎ＝２　→　ｆ＝６

　　ｎ＝３　→　ｆ＝１４

　　ｎ＝４　→　ｆ＝３０

　　ｎ＝５　→　ｆ＝６２

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【１】単体ブロックモデル

　ｎ次元空間充填ではどの頂点でも最低ｎ＋１個の多面体が出会わなければならない（ルベーグの舗石定理）．すべての頂点でｎ＋１個の多面体が出会う場合，ｎ次元ボロノイ細胞の１個の頂点の周りにｎ個のｎ−１次元面が集まることがわかる．すなわち，単体的多面体である．

　このことからｎ次元空間充填では，ｎ次元正単体をイメージしたほうがわかりやすくなる．２次元の場合は正三角形を切頂した図形が正六角形になり，３次元空間でいえば，立方体を直接切頂して切頂八面体を作るのではなく，正四面体を切稜・切頂した図形として切頂八面体を作る操作を考えれば理解しやすくなるだろう．

　一般にｎ次元空間の空間充填多胞体は正単体を切稜・切頂して，

　　Σ(k=0~n-1)（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２（２n−１）

胞体となるというのが単体モデルである．

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【２】ブロックモデル

　レンガのブロック積みを考える．３つのレンガが１点で出会うように平面を敷き詰めると，すべてのレンガは周りの６つのレンガに接することがわかる．お城の石垣でもタマネギの細胞でもこのような原則が成り立っていて，このことから平面充填図形の基本形は６角形であるといえる．６角形の１組の対辺を退化させると４角形になるが，それは６角形から２次的に派生したものと考えることができるだろう．

　次に，空間分割のブロックモデルを考える．１段目を敷き詰めたあと，２段目も１段目と同じように敷き詰めるが，１段目のレンガのすべての頂点を２段目のレンガで覆うようにずらして積み重ねると，１段目のレンガの上には４つのレンガが載ることになる．３段目も同様に行うと同じ段に６，上の段に４，下の段にも４で合計１４のレンガに接することになる．このことからレンガは元々１４面体であって，それが普通のレンガの形に圧縮されたものと考えることができる．

　このようにｎ次元の空間充填図形が立方体状のブロックを基にして導出されるという考え方からすれば，単体モデルは頗る意外なものであろう．「はじめに単体ありき」は答えとしてはあっているのだが，自然な発想「はじめに立方体ブロックありき」とかけ離れていて，意外すぎて（少なくとも私にとっては）心理的抵抗感が大きく，面食らうばかりである．

　ブロックモデルをｎ次元に拡張する場合，１次元では両隣りに１個ずつ計２個，２次元では１次元の状態＋上下に２個ずつ計４個，３次元では２次元の状態＋上下に４個ずつ計８個が相隣る．

　このことからｎ次元では

　　ｆn＝ｆn-1＋２^n

となることがわかる．

　　ｆn＝２＋２^2＋・・・＋２^n＝２（２n−１）

　ブロックモデルの方が心理的抵抗感の少ない導入が可能と思われるが，実際，この多胞体は安定かつ面数が最大の空間充填多胞体となる．

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