レムニスケート（連珠形）には円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることはよく知られている．ガウスはレムニスケートの等分問題から楕円関数を発見している．言い替えれば，方程式論には楕円関数論という背景があったのである．

　しかし，この方程式を解くことは言うは易しいが，実行するにはかなり忍耐がいる．私も１回だけやってみたが結果はMathematicaなしには到達できなかったのも事実である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　（５−２ｓ^4＋ｓ^8）（１−１２ｓ^4−２６ｓ^8＋５２ｓ^12＋ｓ^16）＝０

すなわち

　　５−６２ｓ^4−１０５ｓ^8＋３００ｓ^12−１２５ｓ^16＋５０ｓ^20＋２４ｓ^24＝０

は本質的にはｓ^4に関する２次と４次の方程式である．

　畏友・阪本ひろむ氏にお願いしてMathematicaで計算してもらったところ，

　　１−１２ｓ^4−２６ｓ^8＋５２ｓ^12＋ｓ^16＝０

の根として，

　　｛−１３＋６√５−２（８５−３８√５）^1/2｝^1/4＝０．５２０４７

となった．

　一方，

　ｐ（５ｕ）＝１

を解いて，

　　ｐ（ｕ）＝ｗ，ｚ＝１／√ｗ

とすると，

　　ｗ＝（２＋√５＋√（５＋２√５））＋√（−１＋（２＋√５＋√（５＋２√５））^2）＝１４．５５８８　　（作図可能）

　　ｃ＝２＋√５＋√（５＋２√５）

とおくと

　　ｚ＝｛ｃ−（ｃ^2−１）^1/2｝^2＝０．２６２０８２

となって，両者は一致しない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　よくよく眺めてみると，

　　（５−２ｓ^4＋ｓ^8）（１−１２ｓ^4−２６ｓ^8＋５２ｓ^12＋ｓ^16）＝０

は，ｓ＝ｓｌ（２ω／５）とおいたものであって，ｓ＝ｓｌ（ω／５）としたものではない．

　　ｓｌ（２ω／５）＝２ｓｌ（ω／５）（１−ｓｌ^4（ω／５））^1/2／（１＋ｓｌ^4（ω／５））

であって，

　　ｓｌ（ω／５）＝０．２６２０８２

より，一致することがわかった．

　レムニスケートサインを用いた計算もワイエルシュトラスのペー関数を用いた計算も正しかったわけである．やれやれ．

　ガウスの計算例では次数ｎ^2の方程式が得られるとのことであるが，ガウスのように分割の仕方を変えて計算すると，次数が下がるとか何かアドバンテージがあるのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝