【１】ベルヌーイ積分

　　Ｉ（ｍ，ｍ）＝∫ｘ^m（ｌｎｘ）^mｄｘ

＝ｘ^m+1／（ｍ＋１）Σ（－１）^kｍ！（ｌｎｘ）^m-k／（ｍ－ｋ）！（ｍ＋１）^k

＝ｘ^m+1／（ｍ＋１）｛（ｌｎｘ）^m－ｍ（ｌｎｘ）^m-1／（ｍ＋１）＋・・・｝

［ｍ＝０］∫ｄｘ＝ｘ

［ｍ＝１］∫ｘｌｎｘｄｘ＝ｘ^2／２・ｌｎｘ－１／２^2・ｘ^2

［ｍ＝２］∫（ｘｌｎｘ）^2ｄｘ＝ｘ^3／３・（ｌｎｘ）^2－２ｘ^3／３^2・（ｌｎｘ）＋２／３^3・ｘ^3

［ｍ＝３］∫（ｘｌｎｘ）^3ｄｘ＝ｘ^4／４・（ｌｎｘ）^3－３ｘ^4／４^2・（ｌｎｘ）^2＋３！ｘ^4／４^3・（ｌｎｘ）－３！／４^4・ｘ^4

［ｍ＝４］∫（ｘｌｎｘ）^4ｄｘ＝ｘ^5／５・（ｌｎｘ）^4－４ｘ^5／５^2・（ｌｎｘ）^3＋４！ｘ^5／５^3２！・（ｌｎｘ）^2－４！ｘ^5／５^4・（ｌｎｘ）＋４！／５^5・ｘ^5

　奇跡的相殺というよりも，ｘ→＋０のとき，ｌｉｍｘ^m（ｌｎｘ）^n＝０であることが効いて，

　　∫(0,1)ｘ^xｄｘ＝１－１／４＋１／２！（２！／３^3）－１／３！（３！／４^4）＋１／４！（４！／５^5）－・・・

＝１－１／２^2＋１／３^3－１／４^4＋１／５^5－・・・

＝Σ（－１）^k+1／ｋ^k

＝０．７８３４３０５１０８

だ残ったようである．

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【２】オイラー積分

［ｍ＝２］∫(0,1)（ｌｎｘ）^2ｄｘ＝２！

［ｍ＝４］∫(0,1)（ｌｎｘ）^4ｄｘ＝４！

［ｍ＝６］∫(0,1)（ｌｎｘ）^6ｄｘ＝６！

より，

　　∫(0,1)ｓｉｎ（ｌｎｘ）ｄｘ／ｌｎｘ＝１－２！／３！＋４！／５！－６！／７！＋・・・

＝１－１／３＋１／５＋１／７＋・・・（ライプニッツ級数）

＝π／４

［補］ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ－ｘ^3／３＋ｘ^5／５－ｘ^7／４＋・・・

において，ｘ＝１とすると

　　１－１／３＋１／５＋１／７＋・・・＝π／４

が得られる．

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