（その３）を再検討してみたい．

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【１】レムニスケートサインのｎ倍角公式

　レムニスケートサインの加法定理

　　sl(u+v)=(sl(u)sl'(v)+sl(v)sl'(u))/(1+sl^2(u)sl^2(v))

より，

　　sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))

　　sl(3u)=(sl(2u)sl'(u)+sl(u)sl'(2u))/(1+sl^2(2u)sl^2(u))

　　sl(4u)=(sl(3u)sl'(u)+sl(u)sl'(3u))/(1+sl^2(3u)sl^2(u))

　　sl(5u)=(sl(4u)sl'(u)+sl(u)sl'(4u))/(1+sl^2(4u)sl^2(u))

　　sl(6u)=(sl(5u)sl'(u)+sl(u)sl'(5u))/(1+sl^2(5u)sl^2(u))

また，

　　sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

　　sl'(2u)=(1-sl^4(2u))^1/2

　　sl'(3u)=(1-sl^4(3u))^1/2

　　sl'(4u)=(1-sl^4(4u))^1/2

　　sl'(5u)=(1-sl^4(5u))^1/2

を用いて，sl(u)の関数として表すと

　　sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))

などが得られます．

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【２】レムニスケートのｎ等分と次数ｎ^2の方程式

　しかし，sl(nu),n≧3をsl(u)の関数として表すことは大層複雑であって，次数ｎ^2の方程式が登場する．

　たとえば，ｓ＝ｓｌ（２ω／５）とおくと，ｓｌ（５ｕ）の乗法公式により，ｓは

　　（５−２ｓ^4＋ｓ^8）（１−１２ｓ^4−２６ｓ^8＋５２ｓ^12＋ｓ^16）＝０

すなわち，２４次方程式の根になるが，因数（ｓ−１）で割り切れることを考慮すると２５次方程式が得られるというわけである．

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【３】雑感

　　（５−２ｓ^4＋ｓ^8）（１−１２ｓ^4−２６ｓ^8＋５２ｓ^12＋ｓ^16）＝０

すなわち

　　５−６２ｓ^4−１０５ｓ^8＋３００ｓ^12−１２５ｓ^16＋５０ｓ^20＋２４ｓ^24＝０

は本質的にはｓ^4に関する２次と４次の方程式である．

　しかしながら，２００８年にコラム「楕円積分の加法定理」シリーズで検討した際は，畏友・阪本ひろむ氏にお願いしてMathematicaで展開してもらったところ，言葉が一切入らない数式が数ページにもおよんだ．もちろん，手計算を断念せざるを得なかった代物である．

　ファニャーノは倍角公式，４倍角公式によって得られるものに置き換えて，レムニスケート弧長の３等分あるいは５等分を与える代数方程式を導いている．

　　sl(3u)=sl(2u+u)

　　sl(5u)=sl(4u+u)

　しかし，Mathematicaでは５等分点の計算でもメモリ不足になってしまった．sl(5u)=sl(4u+u)=1をsl(5u)=sl(3u+2u)=1と分割の仕方を変えて計算してみても，メモリ不足はsl(5u)の展開ではなく，sl(5u)=1の方程式を解くところでおきているので，どうしても５等分点は得られなかったのである．一体どうなっているのだろうか？

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