レムニスケート弧長のｎ等分点を求めるには，sl(nu)=1として方程式を解いてsl(u)の値を求めることになるのだが，sl(nu),n≧3をsl(u)の関数として表すことは大層複雑であって，よほど筆算が好きな計算マニアであっても，この計算は到底太刀打ちできないであろう．おそらくファニャーノもレムニスケート弧長の３等分あるいは５等分を与える代数方程式を導いただけで，解を示すことはできなかったと思われる．

　結論だけを示すと，３等分点は

　　sl(u/3)=1/2(1-(√2)(3)^1/4+√3)=0.435421

で与えられる（→作図可能）．

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【１】レムニスケート積分からワイエルシュトラスの標準形へ

　しかし，５等分点ともなると，Mathematicaで展開しても言葉が一切入らない数式が数ページにもおよび，どうしても５等分点は得られなかった．レムニスケート周長の５等分問題を扱うには，レムニスケートサインによる定式化ではうまくいきそうになく，ワイエルシュトラスの標準形

　 ∫(∞,0)du/(4u^2-g2u-g3)^(1/2)

の特別な場合として扱うことにした．ワイエルシュトラスのペー関数ｐの加法公式は，レムニズケートサインの場合とは異なり，有理関数となるから，計算上のアドバンテージが得られるからだ．

　　∫(0,x)1/(1-x^4)^(1/2)dx

は変数変換

　　ｘ＝１／√ｚ，ｄｚ＝−ｚ^(-3/2)／２ｄｚ

により

　　∫(x,∞)1/(4z^3-4z)^(1/2)dz

となる．これは慣用の記号でｇ2＝４，ｇ3＝０のワイエルシュトラスの標準形である．

　ワイエルシュトラスのペー関数ｐ（ｕ）を単にｐと略記すると

［１］微分方程式は

　　（ｐ’）^2＝４ｐ^3−４ｐ

　　ｐ”＝６ｐ^2−２

　　ｐ^(3)＝１２ｐｐ’

　　ｐ^(4)＝１２０ｐ^3−７２ｐ

［２］加法定理

　　ｐ（ｕ＋ｖ）＝−ｐ（ｕ）−ｐ（ｖ）＋１／４｛（ｐ’（ｕ｝−ｐ’（ｖ｝）／（ｐ（ｕ｝−ｐ（ｖ｝）｝^2

は，ｖ→ｕの極限で倍角公式

　　ｐ（２ｕ）＝−２ｐ（ｕ）＋１／４｛ｐ”（ｕ｝／ｐ’（ｕ｝｝^2

　＝−２ｐ＋１／４・（６ｐ^2−２）^2／（４ｐ^3−４ｐ）

　＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）

を得る．

　以下，ｖ→２ｕ，３ｕ，４ｕとすると３倍角，４倍角，５倍角公式が得られる．ここで，レムニスケートの４半弧を定規とコンパスで２等分できることを示すために

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）

において，ｐ（ｕ）＝ｐ，ｐ（２ｕ）＝１とおく．すると，

　　（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）＝（４ｐ^3−４ｐ）

より，ｐ=1+√2=ｚ

　　ｘ＝１／√ｚ＝(-1+√2)^1/2=0.643594（→作図可能）

　こうして，ファニャーノはレムニスケートの四半弧を同じ長さの２つの弧へ分解することができることを示した．もう一度この手続きを繰り返すと４半角公式，２等分を３回繰り返すと８半角公式，・・・．これによって１／２^n倍に対する値が導かれる．

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）＝１＋√２

を解く．解析解はとても長くなるが，作図可能であることを示すことができる（近似解のみを示すと，ｐ＝９．３３０３４）．引き続き

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）＝９．３３０３４

を解いて，ｐ＝３７．２４０７．

　２等分点はｐ（ｕ）＝１＋√２　　（作図可能）

　３等分点はｐ（ｕ）＝１＋√３＋√（３＋２√３）　　（作図可能）

さらに，

　ｐ（５ｕ）＝１

を解いて，

　　ｐ（ｕ）＝ｗ，ｚ＝１／√ｗ

とすると，

　　ｗ＝（２＋√５＋√（５＋２√５））＋√（−１＋（２＋√５＋√（５＋２√５））^2）＝１４．５５８８　　（作図可能）

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【２】∫1/(1-x^6)^(1/2)dxの場合

　ついでに

　　∫1/(1-x^6)^(1/2)dx

について考えてみたい．変数変換

　　ｘ＝１／√ｚ，ｄｚ＝−ｚ^(-3/2)／２ｄｚ

により

　　∫(x,∞)1/(4z^3-4)^(1/2)dz

となる．これは慣用の記号でｇ2＝０，ｇ3＝４のワイエルシュトラスの標準形である．

　ワイエルシュトラスのペー関数ｐ（ｕ）を単にｐと略記すると

［１］微分方程式は

　　（ｐ’）^2＝４ｐ^3−４

　　ｐ”＝６ｐ^2

　　ｐ^(3)＝１２ｐｐ’

　　ｐ^(4)＝１２０ｐ^3−４８

［２］加法定理

　　ｐ（ｕ＋ｖ）＝−ｐ（ｕ）−ｐ（ｖ）＋１／４｛（ｐ’（ｕ｝−ｐ’（ｖ｝）／（ｐ（ｕ｝−ｐ（ｖ｝）｝^2

は，ｖ→ｕの極限で倍角公式

　　ｐ（２ｕ）＝−２ｐ（ｕ）＋１／４｛ｐ”（ｕ｝／ｐ’（ｕ｝｝^2

　＝−２ｐ＋１／４・（６ｐ^2）^2／（４ｐ^3−４）

　＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）

を得る．

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１

より，ｐ=1+√3=ｚ

　　ｘ＝１／√ｚ＝((-1+√3)/2)^1/2

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１

より，ｐ=1+√3=ｚ（→作図可能）．

　次に

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１＋√３

を解く．解析解はとても長くなる．近似解のみを示すと

　　ｐ＝１０．８５１７

　引き続き

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１０，８５１７

を解いて，ｐ＝４３．４０２１．

　すなわち，この曲線は定木とコンパスで弧長が２等分，４等分，８等分できることがわかったが，３等分点は

　　ｐ（ｕ）＝２＋２・２^1/3＋^2/3

で作図不可能であることも示される．

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