空間の不変量が特性数であり，特性数の最も簡単な例がオイラー標数であるのですが，特性類の理論は古くはガウス・ボンネの定理にその雛形を見いだすことができます．

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【１】オイラー・ポアンカレの定理

　凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈されます．

　量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．オイラー標数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，一般に，図形がいくつかの３角形によって分割されているとき，

　　頂点の数−辺の数＋３角形の数

は分割の仕方によらず定まり，図形に固有な量になるというものです．例えば，平面図形（多角形）は，１つの面が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますから，オイラー標数は１となり，また，種数（穴の数）ｇの向き付け可能な閉曲面の場合は２−２ｇとなることはよく知られています．

　オイラーの多面体定理を一般化したものが，オイラー・ポアンカレの定理です．オイラー数はベッチ数の交代和（奇数次元に対応する数には−，偶数次元に対応する数には＋の符号を付ける）

　　Ｐv−Ｐe＋Ｐf−Ｐg＋Ｐh−Ｐi＋・・・

に等しいというのが，オイラー・ポアンカレの内容ですが，ベッチ数（１９世紀の数学者に因んだ名前）とは，形には関係しないで，接触と分離にだけ関係するトポロジカルな示性数で，簡単にいえば図形の中に潜む種々の次元の穴の数（閉じた回路）のことです．

　二次元における正多角形，三次元における正多面体と同じ概念が，四次元における正多胞体で，正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６種類あります．胞の個数をｃで表すと，４次元空間では，

ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０

というオイラー・ポアンカレの定理が成り立っています．

　オイラー・ポアンカレの定理の証明は，比較的簡単です．

（証明）

　線分と三角形および四面体は，それぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形です（単体：シンプレックス）．線分は２つの端点（０次元の境界要素）をもち，その内部は１次元です．三角形は３つの頂点（０次元）と３つの辺（１次元）をもち，その内部は２次元です．四面体は４つの頂点（０次元）と６つの辺（１次元）および４つの面（２次元）をもち，その内部は３次元です．

　これらの数をまとめて書くと

　　　　２，１

　　　３，３，１

　　４，６，４，１

ですが，これらの数はパスカルの三角形の一部分に相当しています．これから類推すると４次元のシンプレックスは５，１０，１０，５，１，すなわち５つの頂点と１０辺，１０面，５胞（正５胞体）になります．

　ｎ次元単体にはｎ＋１個の頂点があり，それに含まれるｋ次元単体の個数はｎ＋１個の頂点からｋ個の頂点を選び出す仕方の数n+1Ｃkに等しいことがわかりますが，これより，ｎ次元単体についてはｖ＝n+1Ｃ1，ｅ＝n+1Ｃ2，ｆ＝n+1Ｃ3，ｃ＝n+1Ｃ4，・・・．

　また，２項定理より，

　　n+1Ｃ0−n+1Ｃ1＋n+1Ｃ2−・・・＋(-1)^nn+1Ｃn+1＝０

ですから，

　　Ｐv−Ｐe＋Ｐf−Ｐg＋Ｐh−Ｐi＋・・・＝１±１

すなわち，ｎが奇数のとき２，偶数のとき０になることがわかります．

　すべて胞体はいくつかの単体によって分割されますが，得られる値は分割の仕方に依存しないことが証明できますから，任意の胞体についてもこれが成り立つことが理解されます．

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【２】ガウス・ボンネの定理

　ガウス・ボンネの定理とは，

　　ガウス曲率の積分＝２π×オイラー数

で表されます．オイラー標数については，前節で解説してあるので割愛しますが，この定理は，曲面の各点における曲がり具合を知れば，穴の数がわかることを意味しています．

　われわれの住む世界にいくつ穴が空いているかは，外側からみれば一目瞭然ですが，内部に住む人間（曲面人）にはなかなか理解できません．しかし，面・辺・頂点の数を数えたり，世界の曲がり具合を調べることによって，内部に住む人間も穴の数を知ることができるようになるというわけです．

　ガウス・ボンネの定理は，

　　∫（微分幾何学的データ）＝位相幾何学的データ

の形をしています．すなわち，ガウス・ボンネの定理は，局所的に記述されるガウス曲率を全体で積分すると位相不変量（大域的で連続的に変形していっても変化しない量）になることをいっているわけで，微分幾何学と位相幾何学の異なる２つの世界を結びつけているところから，微分幾何学で最も美しい定理といわれています．

　そして，ガウス・ボンネの定理に類似の図式は，リーマン面のリーマン・ロッホの定理やディラック演算子に関するアティヤ・シンガーの定理などにも表れ，美しい定理の１つの型となっています．

　オイラー数を曲率の積分で表すガウス・ボンネの定理は，２次元に限らず，２ｎ次元についても拡張されて成り立ちます．これは，ポアンカレ・ホップの指数定理とも呼ばれています．その後，ガウス・ボンネの定理はチャーン（陳省身）によって高次元に拡張されました．また，ガウス・ボンネ・チャーンの定理，リーマン・ロッホの定理，ヒルチェブルフの符号定理など，それ以前に知られていた幾何学の代表的ないくつかの定理を統一したものが，アティヤ・シンガーの指数定理なのです．

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