花本先生が

　　1/Γ(s)=(sΠ(1,∞)(1+s/n))/n^s

に対する解説を送ってくれたので紹介したい．

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（解説のつづき）

　Γ関数の

　　1/Γ(s)=(sΠ(1,∞)(1+s/n))/n^s

という表記はどこかにあったように記憶していますが、かなり荒いやり方ですが、次のように変形すれば出てきます。

基本はWeierstrassの式で

1/Γ(s)=exp(γs)(sΠ(1,∞)(1+s/n)exp(-s/n))

=(sΠ(1,∞)(1+s/n))exp(-s(1+1/2+1/3+・・・+1/n+・・・-γ))

=(sΠ(1,∞)(1+s/n))exp(-slogn) (∵1+1/2+1/3+・・・+1/n=logn+γ)

=(sΠ(1,∞)(1+s/n))/n^s

あるいは，Gaussの式で

1/Γ(s)=lim(n→∞)s(s+1)(s+2)(s+3)・・・・(s+n)/n!/n^s

分子・分母をn!=1・2・3・4・・・・nで割れば

1/Γ(s)=lim(n→∞)s(1+s)(1+s/2)(1+s/3)・・・・(1+s/n)/n^s

つまり

1/Γ(s)=(sΠ(1,∞)(1+s/n))/n^s

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