(その24)に掲げたΓ関数の定義
1/Γ(s)=(sΠ(1,∞)(1+s/n))/n^s
を知らなかったので調べてみたところ,ガンマ関数には,無限積表示
[1]オイラーの公式
Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt
=1/xΠ(1+1/n)^x(1+x/n)^(-1) n=1~∞
のほかに
[2]ワイエルシュトヤスの標準無限積表示
1/Γ(x)=xexp(γx)Π(1+x/n)exp(-x/n) n=1~∞
があった.
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1/Γ(x)=xexp(γx)Π(1+x/n)exp(-x/n)
=xexp(γx)Π(1+x/n)exp(-x/n)
expΣ(-x/n)=expΣ(-x(1/1+1/2+・・・+1/n))
Hn =1/1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n
とlognの差{Hn -logn}は確定した極限値γに収束します.
Hn -logn→γ (n→∞:Hn =logn+γ+O(1/n))
Hn =logn+γ+o(1)
ですから,n→∞のとき
expΣ(-x/n)→exp(-x(γ+logn))
exp(γx)expΣ(-x/n)→exp(-xlogn))=1/n^x
となって,
1/Γ(s)=(sΠ(1,∞)(1+s/n))/n^s
は正しいことがわかる.
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