三角形に関する演習問題の例です．

［１］任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとする．外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表せ．また，与えられた三角形が直角三角形のときのＲ，ｒをａ，ｂ，ｃの一次式で表せ．

（ヒント）正弦定理

［２］Ｒ≧２ｒを証明せよ．等号が成り立つのはどのようなときか．

（ヒント）外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，Ｒ^2 −２Ｒｒ＝ｄ^2 が成り立っています（オイラーの定理）．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．

　ヘロンの公式とは，

Δ^2 ＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2 ＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．

　ここでは，

［３］任意の三角形の内角の大きさをα，β，γ，面積をΔとする．とする．外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをα，β，γ，Δで表せ．また，

［４］Ｒ≧２ｒを証明せよ．

について考えてみますが，答えを先にいうと

［３］ｒ＝４Ｒｓｉｎα／２・ｓｉｎβ／２・ｓｉｎγ／２

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【１】三角形，四角形についての公式

　任意の三角形に対して

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ＝ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

が成り立つ．

　この式は

　　γ＝π−（α＋β）

として，ｔａｎの加法公式を用いることにより容易に証明される．役に立つかどうかは別として，私にとってこの公式は対称性のある美しい公式と感じられる．もちろん，美しく感じるかどうかは主観的であり，強制すべきものではないが，きっと多くの人の美意識にも訴えるに違いない（希望）．

　同様に，任意の三角形に対して

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝４ｃｏｓα／２ｃｏｓβ／２ｃｏｓγ／２

　　ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｓｉｎ２γ＝４ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ

　　ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ３β＋ｓｉｎ３γ＝−４ｃｏｓ３α／２ｃｏｓ３β／２ｃｏｓ３γ／２

　　ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝１＋４ｓｉｎα／２ｓｉｎβ／２ｓｉｎγ／２

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　等式の世界も面白いが，不等式の世界だって奥深いものがある．

　鋭角三角形ならば，算術平均≧幾何平均より

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

前項より，

　　ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

したがって，

　　ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧√２７＝３√３

であるから，

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３√３　　　（等号は正三角形のとき）

を容易に証明することができる．

　少し気分を変えて，次の不等式はどうだろうか？

（問題）

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８

（証明）

　　２ｓｉｎβｓｉｎγ＝ｃｏｓ（β−γ）−ｃｏｓ（β＋γ）

　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ

　＝１／２ｓｉｎα（ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα）

　≦１／２ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）

これより極大値を計算すると，３√３／８が得られる．

　なお，この不等式は三角形の外接円，内接円および面積をＲ，ｒ，△とすれば，

　　ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△

また，正弦法則

　　ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ＝２Ｒ

より，

　　ａｂｃ≦３√３Ｒ^3

と同値である．

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　同様に，

　　ｓｉｎα／２・ｓｉｎβ／２・ｓｉｎγ／２≦１／８

を示すことができます．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかります．

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