代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４＝２^2，５の体は存在するが，位数６＝２×３の体は存在しない．そして，位数７，８＝２^3，９＝３^2の体は存在して，位数１０＝２×５のものは存在しない．

　一方，任意のｎに対してｎ元の群は存在し，位数２の群は１つ，位数３の群は１つ，位数４の群は２つある．すると，位数５の群は？，位数６の群は？，・・・という疑問が湧いてくるのは自然な成り行きであろう．

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【１】位数ｎの群の型

　分類はいつでも数学の究極の目標ですが，位数ｎの有限群が（同型を除いて）何通りあるか？−−−これは興味深い問題ですが，完全には解けていない難しい問題です．

　それでも，ｎが小さい場合に何個あるか知られていますので，有限群の型の分類についての結論を先に掲げたいと思います．たとえば，シローの定理を使うと，位数１５＝３・５のとき，同型類の個数１個（Ｚ15）が示せます．

　　ｎ　　群の型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　同型類の個数

　　１　　単位群｛ｅ｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　２　　Ｚ2＝Ｓ2＝Ｄ1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　３　　Ｚ3＝Ａ3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　４　　Ｚ4，Ｄ2＝Ｚ2×Ｚ2　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　５　　Ｚ5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　６　　Ｚ6，Ｄ3＝Ｓ3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　７　　Ｚ7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　８　　Ｚ8，Ｚ4×Ｚ2，Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2，Ｄ4，Ｑ4　　　　　　　　５

　　９　　Ｚ9，Ｚ3×Ｚ3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　10　　Ｚ10，Ｄ5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　11　　Ｚ11　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　12　　Ｚ12，Ｚ6×Ｚ2，Ｄ6＝Ｄ3×Ｚ2，Ａ4，Ｑ6　　　　　　　　５

　　13　　Ｚ13　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　14　　Ｚ14，Ｄ7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　15　　Ｚ15　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

　　16　　Ｚ16，Ｚ8×Ｚ2，Ｚ4×Ｚ4，Ｚ4×Ｚ2×Ｚ2，Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2×Ｚ2，

　　　　　Ｄ8，Ｑ8，Ｚ2×Ｄ4，Ｚ2×Ｑ4など，合計１４個

　　17　　Ｚ17　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１

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【２】位数ｘｘの群，・・・

　同じ位数ｎをもつ互いに同型でない群の個数についてまとめておきます．これで３２より小さいすべての位数に対する群の異なる型の個数を与えたことになります．

　　ｎ　　群の個数　　ｎ　　群の個数

　　２　　１　　　　　10　　２

　　３　　１　　　　　11　　１

　　４　　２　　　　　12　　５

　　５　　１　　　　　13　　１

　　６　　２　　　　　14　　２

　　７　　１　　　　　15　　１

　　８　　５　　　　　16　　１４

　　９　　２

　　ｎ　　群の個数　　ｎ　　群の個数

　　17　　１　　　　　27　　５

　　18　　５　　　　　28　　４

　　19　　１　　　　　29　　１

　　20　　５　　　　　30　　４

　　21　　２　　　　　31　　１

　　22　　２　　　　　32　　５１

　　23　　１　　　　　64　　２６７

　　24　　１５　　　　128　 ２３２８

　　25　　２　　　　　256　 ５６０９２

　　26　　２　　　　　512　 １０４９４２１３

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