Ｎを球面上にポアソン配置した点の総数とすると，球面上の最近接距離分布は
(1)ｎ＝２のとき，
ｐ（θ）＝Ｎ／πexp(-Ｎ／πθ)/(1-exp(-N))
(2)ｎ＝３のとき，
ｐ（θ）＝Ｎsinθ／２exp(-Ｎ(1-cosθ)／２)/(1-exp(-N))
(3)ｎ＞３のとき，
ｐ（θ）=Nf((cosθ)^2)cosθsinθexp(-N(1-F((cosθ)^2))/2)/(1-exp(-N))
ただし，
ｆ（ｘ）＝ｘ^(-1/2)（１−ｘ）^((n-3)/2)／Β（1/2，(n-1)/2）
Ｆ（ｘ）＝２ｘ^(1/2)（１−ｘ）^((n-1)/2)2Ｆ1(n/2,1,3/2,x)／Β（1/2，(n-1)/2）
となることはすでに述べたとおりである．(1),(2)は(3)の場合に含まれる．
(1)式は切断指数分布（truncated exponential distribution）になるから問題ないのであるが，(2),(3)式からは肝心の最近接球面距離θの平均値θmと分散θv
θm＝∫(0,π)θｐ（θ）ｄθ
θv＝∫(0,π)（θ−θm）^2ｐ（θ）ｄθ
を解析的に求めることができない．
そのため，
ｑ-解析←コラム「ポアソン配置とワイブル分布（雑然か整然か）」参照
球面上のrandom packing，covering←コラム「無限次元空間の球充填問題」参照
などの議論を進めることが困難となっている．
とりわけ，ｎ＝３というなじみ深い場合が扱えないことは本当に困りものである．そこで，今回のコラムではｎ＝３の場合におけるトートの結果を紹介することにした．
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【１】球面三角法
半径１の球面（単位球面）上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり，それぞれが大円の弧で結ばれているものとします．球面三角形ＡＢＣの３辺の長さ（球面距離）をａ，ｂ，ｃで表すとそれぞれ大円の中心角となります．すなわち，単位球では球面距離を中心角と同一視できるわけです．また，内角Ａ，Ｂ，Ｃは大円同士が交わる面角の大きさです．
球面三角法の公式は多数ありますが，計算に便利なように単位球における式として与えられています．重要なのは球面余弦定理
ｃｏｓｃ＝ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ・ｃｏｓＣ
とその巡回置換，それに球面三角形ＡＢＣの面積Ｓを角過剰として表した
Ｓ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π
の２つだけです．
また，ここで用いるのは球面余弦定理の反転定理である第２余弦定理
ｃｏｓＣ＝−ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＡ・ｓｉｎＢ・ｃｏｓｃ
です．
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平面正弦定理では，
ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ＝ａ／Ｒ：ｂ／Ｒ：ｃ／Ｒ
ですが，球面正弦定理は
ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎ（ｃ／Ｒ）
で表されます．球面半径Ｒを１とすると，球面正弦定理は
ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ＝ｓｉｎａ：ｓｉｎｂ：ｓｉｎｃ
一方，双曲的三角法では，ＲをｉＲに置き換えることによって，
ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ＝ｓｉｎｈ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｃ／Ｒ）
が得られます．
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【２】トートの結果（ｎ＝３の場合）
２次元単位球面Ｓ^2上にＮ個の点を配置して，点間の最小球面距離が最大になるようにするとき，最短距離の上限が面積２π／（Ｎ−２）の球面正三角形の１辺の長さ以下となることを証明しましょう．
（証明）ガウス曲率は，
Ｋ＝１／Ｒ1Ｒ2
で定義されますが，球面三角形ＡＢＣにこのことをあてはめると，三角形の頂点の角度をα，β，γとおいて，
Ｓ＝∫∫ＫｄＡ＝α＋β＋γ−π （ガウス・ボンネの定理）
（球面凸ｎ角形に対しては，Ｓ＝α1＋α2＋・・・＋αn−（ｎ−２）π）
したがって，球面正三角形の１つの内角をαとすると，その面積は
△＝３α−π
ｖ＝Ｎ個の頂点をもつ三角形面多面体をＮ個の頂点とそれらを結ぶ辺からなる球面上のグラフと考えると，各頂点の次数は３ですから握手定理（ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ）により３ｆ＝２ｅ．また，オイラーの多面体定理（ｖ−ｅ＋ｆ＝２）より，ｖ−ｅ＋ｆ＝Ｎ−ｅ／３＝２ですから，ｅ＝３Ｎ−６，ｆ＝２Ｎ−４．
（ｖ，ｅ，ｆ）＝（Ｎ，３Ｎ−６，２Ｎ−４）
すなわち，球面上にＮ個の点を配置した場合，ｆ＝２Ｎ−４はＮ個の頂点をもつ三角形面正多面体（単体的正多面体）の面数となります．
したがって，球面三角形の面積は
３α−π＝４π／（２Ｎ−４）＝２π／（Ｎ−２）
α＝Ｎπ／（３Ｎ−６）＝Ｎ／（Ｎ−２）・π／３
より，一般に
α≦Ｎ／（Ｎ−２）・π／３
が成り立ちます．
等号はＮ＝３，４，６，１２の場合のみ成立し，それぞれＮ個の点が正三角形，正４面体，正８面体，正２０面体の頂点にくる場合に対応します．これらはすべて三角形面多面体（単体的正多面体）です．
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また，ここで球面距離θと内角αの間には球面第２余弦定理
ｃｏｓα＝−（ｃｏｓα）^2＋（ｓｉｎα）^2ｃｏｓθ
より，
ｃｏｓθ＝ｃｏｓα／（１−ｃｏｓα）＝（ｃｏｔ^2（α／２）−１）／２
θ＝ａｒｃｃｏｓ｛ｃｏｓα／（１−ｃｏｓα）｝
＝ａｒｃｃｏｓ｛ｃｏｔ^2（α／２）−１）／２｝
という関係が存在します．
したがって，
ａ）単位球面上のＮ個の点の中から，球面距離が
θ＝ａｒｃｃｏｓ｛ｃｏｓα／（１−ｃｏｓα）｝
＝ａｒｃｃｏｓ｛ｃｏｔ^2（α／２）−１）／２｝
を満たす２点をつねに取り出すことができます．右辺は面積が２π／（ｎ−２）の球面正三角形の球面距離にほかなりません．Ｎ＝３，４，６，１２に対しては等号が成り立ち，正確な値を与えてくれます．
ｂ）この２点の距離（単位球に内接する多面体の稜の長さ）に関しては
ｄ≦√（４−ｃｏｓｅｃ^2（α／２））
が成り立ちます（ｄ≦θ）．
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【３】球面上の点配置のミニマックス問題，マックスミニ問題
球面上の有限個の点の集合で，よい性質をもつものは？ というきわめて漠然，曖昧模糊とした問題を考えると，これはある意味で，球によって最もよく近似できるｎ頂点あるいはｎ面の多面体を求める問題であり，球面に内接する正多面体の頂点のつくる集合は，いろいろな意味でその例といえるでしょう．
さらに，凸な一様多面体（面が正則，頂点が等価）であるプラトン立体，アルキメデス立体，半正則プリズム，反プリズムなどがよい性質をもつ多面体の例となり得るでしょうし，一様な多面体の他に，すべての面が正多角形である凸多面体（ジョンソン・ザルガラー多面体）が正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在することもわかっています．
ところで，正多面体の頂点は外接球上に分布していますが，どの２点の最短距離もできるだけ大きくなるような点の分布をなしているとは限りません．たとえば，６個あるいは１２個の点の分布はそれぞれ正八面体と正２０面体になりますが，８個の点については立方体にはならないからです．
さらに，正則な配置問題だけでなく，任意の不規則な配置も考慮に入れられるのですが，たとえば，７個の点の球面最小距離を最大にするミニマックス問題，マックスミニ問題となるとどうしてよいのやらわかりません．
しかし，トートの結果を使うと，最小球面距離の最大化というミニマックス問題の解は，Ｎ＝４，６，１２の場合には，それぞれ正４面体，正８面体，正２０面体の頂点に一致するような配置が導かれます．Ｎ＝８の解は，単位球に内接し８個の頂点をもつ反プリズム（２個の正方形と８個の正三角形からなる），Ｎ＝２４では，アルキメデスの多面体（３，３，３，３，４）の頂点，Ｎ＝２０は未解決のまま残っています．
一方，最大球面距離の最小化というマックスミニ問題の解は，Ｎ＝６のとき，正則な二重ピラミッドの頂点，Ｎ＝１２のとき，反プリズム的二重ピラミッドの頂点であることが導かれています．二重ピラミッドとは，プリズムあるいは反プリズムの底面および上面にそれぞれひとつずつピラミッドをおくときにできる立体です．
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【４】Ｓ^2の最密円充填と最疎円被覆
球面において，球面上の円（球帽という）の最密な円配置および最疎な円被覆問題を考えると，それは多面体の性質と関連していることが理解されます．
結論を先に述べると，円の個数が４，６，１２の場合には，円の中心がそれぞれ正４面体，正８面体，正２０面体の頂点に一致するような円配列が導かれます．それに対して，８，２０の場合，円の中心は正６面体，正１２面体の頂点にくるわけではありません．このことから，この問題では３稜頂点（あるいは三角形面）からなる正多面体が特別な役割を果たすことがわかります．与えられた頂点数をもつ多面体の中で最良のものは，正三角形面多面体なのです．
球面における最密充填と最疎被覆に関する不等式を押さえておくことにしましょう．球面上にＮ個の大きさの等しい球帽を埋め込むときの充填密度は，
ｄ≦Ｎ／２（１−１／２ｃｏｓｅｃ（α／２））
球面がＮ個の等大球帽で被覆されるときの被覆密度は
Ｄ≧Ｎ／２（１−１／√３ｃｏｔ（α／２））
なる不等式を満たすことが証明されています．
また，これらの不等式の上界・下界は，Ｎの増加とともにそれぞれユークリッド平面における極限値
ｄE＝π／√１２，
ＤE＝２π／√２７
に近づくことが示されます．
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【５】ランダムキャップによる被覆確率
ここでは，単位球面Ｓ^2上のランダム点を中心とする指定された大きさの球帽が球面すべてを覆ってしまう確率の漸近評価について考えることにします．
球帽の面積を４πｐ（０＜ｐ＜１），ｐをＮの関数ｐ（Ｎ）とします．Ｎｐ＜１なら被覆確率は０ですが，Ｎ→∞のときの被覆確率はいくらになるでしょうか．
面積４πｐの球帽を単位球面上に独立にＮ個置くとき，球面上の任意の点がどの球帽にも属さない確率Ｕの平均Ｅ（Ｕ）＝（１−ｐ）^N，また，分散
Ｖ（Ｕ）＝Ｅ（Ｕ^2）−Ｅ（Ｕ）^2＜４ｐ（１−ｐ）^(N+1)
と評価されます．
このとき，チェビシェフの不等式により
Ｐｒ｛｜Ｕ−Ｅ（Ｕ）｜≧Ｅ（Ｕ）｝≦Ｖ（Ｕ）／Ｅ（Ｕ）^2
右辺＜４ｐ（１−ｐ）^(1-N)＝４ｐ（１−ｐ）（１＋ｐ／（１−ｐ））^N
＜４ｐ（１−ｐ）ｅｘｐ（ｐＮ／（１−ｐ））
このことより，Ｎｐ＜ｌｏｇＮならば右辺→０より
Ｐｒ（Ｕ＝０）≦Ｐｒ｛｜Ｕ−Ｅ（Ｕ）｜≧Ｅ（Ｕ）｝→０
すなわち球面すべてが覆われる確率→０となることがわかります．
したがって，ランダムキャップによる球面被覆は，確率１で球面すべてが覆われるだろうかという問いに対しては，Ｎ→∞のとき
ａ）Ｎｐ＜ｌｏｇＮ→球面すべてが覆われる確率→０
ｂ）Ｎｐ＞ｌｏｇＮ→球面すべてが覆われる確率→１
ということを意味しています．
もちろん，球面すべてが覆われる確率→０といってもまったく球面が被覆されないというわけではなく，逆に球面すべてが覆われる確率→１とはいってもいつかはすべてを覆えるということであって，被覆に要する枚数Ｎの期待値は∞です．すべてを覆えるとはいっても被覆しづらい，たとえＮ→∞にしたとしても球面全体を被覆するのはそう簡単なことではないのです．
なお，球帽の球面半径をθとすると，Ｓ^2における球帽の面積は
２π（１−ｃｏｓθ）＝４π｛ｓｉｎ（θ／２）｝^2
ですから，
ｐ＝｛ｓｉｎ（θ／２）｝^2
と計算できます．したがって，
ｐ＝｛ｓｉｎ（θ／２）｝^2＝１／Ｎ・ｌｏｇＮ
θ＝２ａｒｃｓｉｎ｛（１／Ｎ・ｌｏｇＮ）^(1/2)｝
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［参］前原潤「円と球面の幾何学」朝倉書店
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