【１】正規化された多重三角関数

　じつは多重化三角関数Ｓr（ｘ）はほんの序章であって，正規化された多重三角関数Ｓr（ｘ；（ω1，ω2，・・・，ωr））の話しに繋がっていき，さらに新型保型形式論へと発展しています．

　　Ｓ2（１／２；（１，１））＝２^(1/2)　←→　I=∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

　　ζ(3)＝１６π^2／３ｌｏｇ（２^(-1/8)／Ｓ3（３／２；（１，１，１）））

　　Ｓ3（１／２）＝Ｓ3（３／２；（１，１，１））^14/3２^(5/6)

　　ζ(3)＝１６π^2／３ｌｏｇ（２^(3/8)／Ｓ3（１／２））

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［補］ゼータとポリログ関数

　　ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

の∫(0,π/2)xlog(sinx)dxはログサイン積分とも呼ぶべきものですが，ここでゼータ関数に関係するポリログ関数（polylogarithm）を導入することにしましょう．

　ポリログ関数は

　　ジログ関数（アーベル・ロジャース・スペンス関数）：

　　Ｌ2(x)＝Σx^n/n^2＝-∫(0,x)log(1-t)/tdt

　　Ｌn+1(x)＝∫(0,x)Ｌn(t)/tdt

のように積分で定義される関数（積分関数）ですが，

　　トリログ関数：Ｌ3(x)=Σx^3/n^3，

　　テトラログ関数：Ｌ4(x)=Σx^4/n^4，

　　ペンタログ関数：Ｌ5(x)=Σx^5/n^5，

　　・・・・・・・

などを総称してポリログ関数と呼びます．

　特に

　　Ｌn(1)＝(-1)^(n-1)/(n-1)!∫(0,1){log(t)}^(n-1)/(1-t)dt

　　 ＝ζ(n)

より，Ｌn(1)はゼータ関数の特殊値となります．

　ポリログ関数の公式を用いると，オイラーの等式

　　ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

に相同な等式

　　Ｌ3(1)＝ζ（3）＝5/4Ｌ3(φ^(-2))+2π^2/15logφ-2/3(logφ)^3

　　　　　　　　　φ＝（１＋√５）／２

を得ることができます．

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［補］その他の多重化関数

　多重ゼータ関数，多重ガンマ関数，多重ポリログ関数などについてはよく知らないのですが，いずれも多変数化したものを指すようです．

　したがって，多重ガンマ関数とポリガンマ関数はまったく別物です．ガンマ関数の対数微分であるジガンマ関数φ（ｘ）は

　　φ（ｘ）＝ｄ／ｄｘ｛ｌｏｇΓ(x)｝=Γ'(x)/Γ(x)

で定義されます．また，その逐次導関数φ’（ｘ），φ”（ｘ），・・・，φ(k)（ｘ），すなわち，トリガンマ関数，テトラガンマ関数，ペンタガンマ関数などを総称してポリガンマ関数と呼びます．

　なお，ガンマ関数にも多重サイン関数のような無限積表示

　　Γ（ｘ）＝∫(0,∞)t^(x-1)ｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ

　　　　　　＝１／ｘΠ（１＋１／ｎ）^x（１＋ｘ／ｎ）^(-1)

が知られています．

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