多重三角関数の歴史については，新谷卓郎が実２次体用にある特殊関数を構成したのが１９７７年，黒川信重が多重三角関数の結果を発表したのが１９９１年の

　　［参］黒川信重・小山信也「多重三角関数論講義」日本評論社

にまとめられている．

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【１】オイラーと三角関数

　オイラーのゼータ関数では三角級数

　　f(x)=Σcos(2nx)/n^s (n=1~)

　　g(x)=Σsin(2nx)/n^s (n=1~)

が本質的な役割をしているのですが，オイラーは三角関数ｓｉｎｘの零点が０，±π，±２π，±３π，・・・であることから三角関数を因数分解して，無限乗積

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2π^2）

　　ｓｉｎ（πｘ）＝πｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2）＝π／Γ（ｘ）Γ（１−ｘ）

を得ました．

　ｓｉｎｘの無限乗積とベキ級数展開（テイラー展開）

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

を用いれば，偶数ゼータの値

　　ζ（２）＝π^2／６，ζ（４）＝π^4／９０，ζ（６）＝π^6／９４５，ζ（８）＝π^8／９４５０，・・・

が得られます．

　　Ｓ1（ｘ）＝２ｓｉｎ（πｘ）＝２πｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2）

と定義すると，ｎ分値，２ｎ分値に関して

　　ΠＳ1（ｋ／２ｎ）＝ｎ^(1/2)　　　(k=1~n-1)

　　ΠＳ1（ｋ／ｎ）＝ｎ　　　(k=1~n-1)　　（→楕円関数への一般化がある）

が成り立ちます．

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【２】ヘルダーの２重三角関数

　ヘルダーは１８８０年代に２重三角関数

　　Ｓ2（ｘ）＝ｅｘｐ（∫(0,x)πｔｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）　　　（積分表示）

　　　　　　 ＝ｅｘｐ（ｘ）Π（（１−ｘ／ｎ）／（１＋ｘ／ｎ））^nｅｘｐ（２ｘ）

を研究しました．

　ｎ→∞のとき，

　　（１−ｘ／ｎ）^n→ｅｘｐ（−ｘ）

　　（１＋ｘ／ｎ）^n→ｅｘｐ（ｘ）

　　（（１−ｘ／ｎ）／（１＋ｘ／ｎ））^nｅｘｐ（２ｘ）→１

となることはは容易に理解されるところですが，三角関数の一般化になっているかどうか直ちにはわかりません．

　　∫(0,x)πｃｏｔ（πｔ）ｄｔ＝ｌｏｇ（ｓｉｎπｘ）

より

　　Ｓ1（ｘ）＝２ｅｘｐ（∫(0,x)πｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）

また，

　　Ｓ2（ｘ）＝ｅｘｐ（∫(0,x)πｔｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）

と表示されますから，三角関数の類似物になっていることがおわかりいただけるでしょう．この関数は初等関数では表すことができません．

　新谷卓郎は１９７７年に２重三角関数の一般論の研究をしました．

　　Ｆ（ｚ，ω1，ω2）＝Π（（１−ｚ／（ｎ1ω1＋ｎ2ω2）／（１＋ｚ／（ｎ1ω1＋ｎ2ω2））

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【３】黒川の３重三角関数・多重三角関数

　黒川先生はヘルダーの研究にならって，２０年ほど前から３重三角関数

　　Ｓ3（ｘ）＝ｅｘｐ（∫(0,x)πｔ^2ｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）　　　（積分表示）

　　　　　　 ＝ｅｘｐ（ｘ^2／２）Π（１−ｘ^2／ｎ^2）^n^2ｅｘｐ（ｘ^2）

を導入しています．

　ｎ→∞のとき，（１−ｘ^2／ｎ^2）^n^2→ｅｘｐ（−ｘ^2）

ですから

　　（１−ｘ^2／ｎ^2）^n^2ｅｘｐ（ｘ^2）→１

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　Ｓ1（ｘ）＝２πｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2）＝２πｘΠＰ1（ｘ／ｍ）

　　Ｐ1（ｕ）＝（１−ｕ）ｅｘｐ（ｕ）

という教示のｒ≧２における類似物を考えて，一般のｒ≧２に対しては

　　Ｓr（ｘ）＝ｅｘｐ（（ｘ^r−１／（ｒ−１））Π｛Ｐr（ｘ／ｎ）Ｐr（−ｘ／ｎ）^(-1)^(r-1)｝^n^(r-1)

　　Ｐr＝（１−ｘ）ｅｘｐ（ｘ＋ｘ^2／２＋・・・＋ｘ^r／ｒ）

で定義するのですが，正規化のための係数を除けば

　　ｅｘｐ（∫(0,x)πｔ^(r-1)ｃｏｔ（πｔ）ｄｔ）

という別表示をもっています．この関数（多重サイン関数）は初等関数では表されません．

　また，

　　Ｓ1（ｘ＋１）＝−Ｓ1（ｘ）　　　（周期性）

　　Ｓ1’（ｘ）＝πｃｏｔ（πｘ）Ｓ1（ｘ）　　　（微分方程式）

に対応して，擬周期性

　　Ｓ2（ｘ＋１）＝−Ｓ2（ｘ）Ｓ1（ｘ）

　　Ｓ3（ｘ＋１）＝−Ｓ3（ｘ）Ｓ2（ｘ）^2Ｓ1（ｘ）

微分方程式

　　Ｓ2’（ｘ）＝πｘｃｏｔ（πｘ）Ｓ2（ｘ）

　　Ｓ3’（ｘ）＝πｘ^2ｃｏｔ（πｘ）Ｓ3（ｘ）

をもちます．

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【４】多重三角関数の性質

　多重三角関数については興味深いことがいろいろと知られていて，いくつかの特徴的な性質を有しています．多重三角関数の詳細については

　　［参］黒川信重「オイラー探検」シュプリンガー・ジャパン

のなかで紹介されており，まったくその受け売りになりますが，・・・

(1)対称性

　　Ｓ1（−ｘ）＝−Ｓ1（ｘ）

　　Ｓ2（−ｘ）＝Ｓ2（ｘ）^(-1)

　　Ｓ3（−ｘ）＝Ｓ3（ｘ）

(2)周期性

　　Ｓ1（ｘ＋１）＝−Ｓ1（ｘ）

　　Ｓ2（ｘ＋１）＝−Ｓ2（ｘ）Ｓ1（ｘ）

　　Ｓ3（ｘ＋１）＝−Ｓ3（ｘ）Ｓ2（ｘ）^2Ｓ1（ｘ）

(3)２分値

　　Ｓ1（１／２）＝２

　　Ｓ2（１／２）＝２^(1/2)

　　Ｓ3（１／２）＝２^(1/4)ｅｘｐ（−７ζ(3)／８π^2）

　　　　　　　　 ＝ｅ^(1/8)Π｛（１−１／４ｎ^2）^n^2ｅ^(1/4)｝

　ここで，

　　Ｓ1（１／２）＝２

は

　　Σζ(2m)／m4^m＝ｌｏｇ（π／４）

　　Ｓ2（１／２）＝２^(1/2)

はオイラー積分

　　I=∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

の言い替えになっています．

　オイラーは，フーリエ展開といわれるずっと前に

　　log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2

であることをつきとめ，これを代入して計算すれば

　　1/1^3+1/3^3+1/5^3+･･･=π^2/4log2+2∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

　　ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

　　Ｓ3（１／２）＝２^(1/4)ｅｘｐ（−７ζ(3)／８π^2）

　　ζ(3)＝８π^2／７ｌｏｇ（２^(1/4)／Ｓ3（１／２））

はその言い換えになっているというわけです．

　さらに，ゼータ関数の特殊値との関連では，Ｓ1（１／２）＝２より

　　ζ(5)＝３２π^4／９３ｌｏｇ（Ｓ5（１／２）２^(11/112)／Ｓ3（１／２）^(9/14)）

　　ζ(2m+1)＝（有理数）π^2mｌｏｇ（ΠＳk（１／２）２^(有理数)）

(4)ｎ分値

　　ΠＳ1（ｋ／ｎ）＝ｎ

　　ΠＳ2（ｋ／ｎ）＝ｎ^(1/2)

　テータ関数やアイゼンシュタイン級数の性質，たとえば，

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)　　　　（周期性）

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

の双対性の代わりに対称性が加わったもの（半保型性？）といってもよいかもしれません．

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