[Q]pを素数,qを2以上の非素数,rを2以上の自然数とする.このとき, N=Πn^3/(n^3-1)=?
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[A]
A=Π(1-1/n^3) n=2~∞
B=Π(1+1/n^3) n=2~∞
岩波「数学公式Ⅱ」に掲載されている
A/B=Π((n^3-1)/(n^3+1)=2/3 n=2~∞
を既知として援用する.
(その14)より
AB=Π(1-1/n^6)=(1+cosh(π√3))/12π^2
であるから,A/B=2/3より,
A=(1+cosh(π√3))^1/2/3π√2
(1+cosh(π√3))^1/2/√2=cosh(π√3/2)
A=cosh(π√3/2)/3π
B=cosh(π√3/2)/2π
n=1~∞とすれば,丸善「新数学公式集Ⅰ」
[1]Π(1+1/n^3)=cosh(√3π/2)/π
[2]Π(1-1/n^3)=cosh(√3π/2)/3π
に一致する.
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[雑感]
岩波「数学公式Ⅱ」に掲載されている
A/B=Π((n^3-1)/(n^3+1)=2/3 n=2~∞
を既知として援用したが,この証明がわからない.
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