■オイラー・マクローリンの和公式とトッド作用素(その22)

 n^(m+1-j)の係数は第1項から生ずるが,n^(m+1-j)の係数は第3項と第1項より生ずる.j=[0,m]

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[1]第3項はベルヌーイのベキ和公式を1/(m+1)倍したものであるから,

m=3→(n^4/16+n^3/8+n^2/16)

m=4→n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/150=(2n^3+3n^2+n)(3n^2+3n-1)/150=(6n5+15n^4+10n^3-n)/150

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[2]第1項の

1/(m+1)ΣBjn^m+1-j((m+1,j-1)/1-(m+1,j-2)/2+(m+1,j-3)/3+・・・+(-1)^j-1/j)

m=3→j=1→n^3/8

m=3→j=2→n^2/24(4-1/2)

m=3→j=3→0

m=4→j=1→n^4/10

m=4→j=2→n^3/30(5-1/2)

m=4→j=3→0

m=4→j=4→-n/150(10-10/2+5/3-1/4)

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[1]+[2]では,

m=3→-(n^4/16+n^3/8+n^2/16)+n^3/8+7n^2/48→OK

m=4→-(6n5+15n^4+10n^3-n)/150+n^4/10+9n^3/60-n/360→OK

となって,(その18)の結果とずれはない.

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