切頂八面体とケルビンの１４面体とα-１４面体の関係は立方体・直方体・平行六面体の関係に相当します．α-１４面体は無限にありますが，とくに，すべての辺の長さの等しいものはケルビンの１４面体と呼ばれています．

　　切頂八面体≦ケルビンの１４面体≦α−１４面体

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓

　　　　　　　　　　　　　　　　　　β−１４面体

　（その１）では長菱形十二面体をα−１２面体，菱形台形十二面体をβ−１２面体と仮称したのですが，長菱形十二面体は菱形十二面体の尖った頂点ａ4を両極として赤道面で半分に切って間に正四角柱を挟んだものですから，ケルビンの１４面体のようにある方向に引き伸ばして面を変形させたものではありません．

　伸縮変形をα-変形と呼ぶことにすると，長菱形十二面体は真の意味でのα−１２面体ではないのです．しかしながら，菱形十二面体に対しても空間充填可能という性質を保持しながらα-変形させた立体を考えることができます．

　　菱形十二面体≦中川宏の１２面体≦α-１２面体

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　　長菱形十二面体・菱形台形十二面体

　今回のコラムではこの変形について中川宏さん製作のα−１２面体模型とともに紹介したいと思います．

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【１】α−１２面体の計量

　α−１２面体も無限に考えることができますが，そのなかでもとりわけ美しいものは４枚の正方形と８個の菱形（内角６０°，１２０°）とからなり，すべての辺の長さが等しいものです．

　高さと幅と長さが２：２：４の寸法の直方体のブロックを用いて切頂を施す際，二面角の値は

　　正方形面−菱形面：１２５．２６４°

　　菱形面−菱形面　：１０９．４７１°　　（正四面体角，マラルディの角）

になります．

　こうしてできたα−１２面体の菱形の鈍角の内角は１２０°です．それに対して，菱形十二面体は対角線の長さの比が１：√２の合同な菱形１２枚からできていて，菱形の鈍角は１０９．４７１°（正四面体角，マラルディの角）です．

　菱形十二面体には菱形が３枚集まっている頂点（ｏ3）が８個，４枚集まっている頂点（ａ4）が６個あります．ｏ3の３つの稜線は平面に投影すれば１２０°で交わっていますが，３つの頂角はすべて等しく１０９．４７１°になっています．したがって，菱形十二面体のｏ3がα−１２面体では菱形面の二面角と鈍角に化けたような形になっていることがわかります．

　また，中川宏さんのα−１２面体は立方八面体の相対する正方形面に正八面体を半分に切って乗せたものとも考えることができます．その意味でα-１２面体は切頂八面体と菱形十二面体の中間に位置して双方の特徴を兼ね備えた多面体といえるでしょう．すべての辺の長さの等しいα-１２面体はこれ以外にも存在しますが，そのような図形の最も美しい一例が中川宏さんのα-１２面体というわけです．

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【２】β−１２面体の非存在

　Ａｕ，Ａｇ，Ｃｕをはじめとする多くの金属は菱形十二面体的結晶構造を示し，ある種の金属（Ｍｇ，Ｔｉ）は菱形台形十二面体は的結晶構造を示すのですが，その理由はいまだ明らかにされていません（ナゼ？）．これら２つの多面体はすべての二面角が１２０°で球に内接しますから，正六角形を３次元空間に拡張したものとみなすことができます．

　菱形台形十二面体は菱形十二面体をその中心点を通る平面で２等分する→六角柱の片側が３つの菱形で閉じられている→この一方の部分を１／６回転させることによって作られますが，このようにして得られた多面体は６個の菱形と６個の等辺台形で囲まれた十二面体になるので，面の辺数の変化は生じません．

　それに対して，β-１４面体（ウィリアムズの１４面体）は，切頂八面体を相対する正方形面に直交する方向にやや引き伸ばしてα−１４面体（ケルビンの１４面体）にした後，一部を９０°回転させて作りました．このとき新たに五角形面を生じます．→コラム「α−１４面体・β−１４面体の木工製作」

　ここではひねり・ねじりなど面の辺数の組合せ変化を伴う位相幾何学的変形をβ-変形と呼ぶことにしますが，α−１２面体はすべての面が四角形（正方形・菱形）ですからβ−１２面体は存在しないことになります．

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【３】雑感

　１３種類（１６種類）あるアルキメデス立体のなかで，三角形と四角形が交互に並んだものが立方八面体，三角形と五角形が交互に並んだものが１２・２０面体である．アルキメデス立体のなかでこの２つだけがすべての辺が赤道であり，また頂点の周りだけでなくすべての辺の周りも一定である．そのため丈夫で作りやすく，伝統工芸品にもしばしば見られる形になっている．

　木工の立場からみれば，どちらも中点切頂型であり，

　　立方体←→切頂立方体←→立方八面体←→切頂八面体←→正八面体

　　正１２面体←→切頂１２面体←→１２・２０面体←→切頂２０面体←→正２０面体

のようにプラトン立体の中間に位置する．すなわち，立方八面体は立方体と正八面体の両方から同じ切頂プロセスでできあがる多面体である．また，菱形十二面体は立方八面体の各面の中心を繋いで余分なところを切り落とすと得られる多面体であるから互いに表と裏の関係にある．

　　立方体←→切頂立方体←→立方八面体←→切頂八面体←→正八面体

　　　　　　　　　　　　　　　　↑↓

　　　　　　　　　　　　　　菱形十二面体

　　正１２面体←→切頂１２面体←→１２・２０面体←→切頂２０面体←→正２０面体

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑↓

　　　　　　　　　　　　　　　　　菱形三十面体

　　正四面体←→切頂四面体←→正八面体←→切頂四面体←→正四面体

　　　　　　　　　　　　　　　　↑↓

　　　　　　　　　　　　　　　立方体

　立方八面体の中心から見ると１２個の頂点はすべて同じ距離のところにあり，そのため立方八面体を２個重ねると中央付近は面心立方格子そのものになる．切頂八面体と菱形十二面体は単独で空間充填可能であるが，立方八面体や切頂立方体は正八面体と組み合わせると空間を埋め尽くすことができる．

　立方体の各面上に高さが立方体の辺の長さの１／２の四角錐を乗せると菱形十二面体ができる．それに対して，中川さんから指摘されたようにα−１２面体は立方八面体の相対する正方形面に正八面体を半分に切って乗せたものと考えることができるが，それにしてもいろいろな組合せ方があるものだと驚かされた次第である．

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