Σｋ^mｌｏｇｋ＝

１／（ｍ＋１）ΣＢj（ｎ^m+1-j−１）ｌｏｇｎ＋

１／（ｍ＋１）ΣＢj（ｎ^m+1-j−１）（（ｍ＋１，ｊ−１）／１！−（ｍ＋１，ｊ−２）／２！＋（ｍ＋１，ｊ−３）／３！＋・・・＋（−１）^j-1（ｍ＋１，ｍ＋１）／ｊ！）

＋Ｂm+1

とコラム「素数がもたらしたもの」シリーズを比較してみたい．

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［１］　　Σlogk〜(n+1/2)･logn-n+C

　　C=1-1/12+1/360-1/1260+1/1680--･･･

定数Ｃは

　　Ｃ＝１／２・ｌｏｇ２π＝−ζ’（０）

で与えられる．

［２］　　Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)･logn-n^2/4+C

　　C=1/4-1/720+1/5040-1/10080+･･･

定数Ｃは

　　Ｃ＝１／１２−ζ’（−１）

で与えられる．

［３］　　Σk^2logk〜(n^3/3+n^2/2+n/6)･logn-n^3/9+n/12+C

　　C=1/9-1/6+1/360-1/5040+1/10080-･･･

定数Ｃは

　　Ｃ＝−ζ’（−２）＝ζ（３）／４π^2

で与えられる．

［４］　　Σk^3logk〜(n^4/4+n^3/2+n^2/4-1/120)･logn-n^4/16+n^2/12+C

　　C=1/16-1/12+1/120-1/5040+1/33600-･･･

定数Ｃは

　　ｃ＝−１１／７２０−ζ’（−３）

で与えられる．

［５］　　Σk^4logk〜(n^5/5+n^4/2+n^2/3-n/30)･logn-n^5/25+n^3/12-n/30+C

　　C=1/25-1/12+1/30-1/1260+1/25200-･･･

定数Ｃは

　　Ｃ＝−ζ’（−４）＝３ζ（５）／４π^4

で与えられる．

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　Σ(1,∞)k^mlogkから発散するｎのべき乗項を引いた残りを定数と考えると，偶数次元では

　　−ζ’（−ｓ）

奇数次元では

　　定数−ζ’（−ｓ）

の形となりましたが，この定数について，大阪の花本先生より興味深い結果を教えていただきました．

　Σ(1,∞)k^mlogkから発散するｎのべき乗項を引いた残りを定数と考えて，一般化Glaysher数をAm，ベルヌーイ数をBn，調和関数Hn=1+1/2+1/3+・・・+1/nとすれば，

　　Am=B(m+1)Hm/(m+1)-ζ’(-m)

が成り立つというものです．

　たとえば，

［１］ｍ＝１のとき

　　Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)･logn-n^2/4+C

　　C=1/4-1/720+1/5040-1/10080+･･･

となりましたが，

　　Ｂ2＝１／６，Ｈ1＝１，ｍ＋１＝２

ですから，

　　Ｃ＝１／１２−ζ’（−１）＝Ａ1

［２］ｍ＝３のとき

　　Σk^3logk〜(n^4/4+n^3/2+n^2/4-1/120)･logn-n^4/16+n^2/12+C

　　C=1/16-1/12+1/120-1/5040+1/33600-･･･

となりましたが，

　　Ｂ4＝−１／３０，Ｈ3＝１＋１／２＋１／３＝１１／６，ｍ＋１＝４

定数Ｃは

　　Ｃ＝−１１／７２０−ζ’（−３）＝Ａ3

［３］ｍ＝２ｎのとき

　ベルヌーイ数の奇数項は第一項以外は０ですから，

　　Ａm＝−ζ’（−ｍ）

で与えられるというものです．

（文献）Polygamma Functions of negative order

Victor S.Adamchic 1998

JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS

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