（その１２）（その１３）をまとめてみる．

［１］第１項　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

１／（ｍ＋１）ΣＢj／ｊ！（（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ）！ｎ^m+1-jｌｏｇｎ＋ΣjＣk（−１）^k-1（ｋ−１）！（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋ｋ）！ｎ^m+1-j）

［２］第２項　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

−１／（ｍ＋１）ΣＢj／ｊ！（ΣjＣk（−１）^j+1（ｋ−１）！（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋ｋ）！）

［３］第３項　　ｊ＝［０，ｍ］

　　Σｋ^m＝１／（ｍ＋１）・ΣＢj（ｍ＋１，ｊ）ｎ^(m+1-j)

として，−Σｋ^m

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］第１項　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

１／（ｍ＋１）ΣＢj／ｊ！（（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ）！ｎ^m+1-jｌｏｇｎ＋

＋jＣ1（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋１）！ｎ^m+1-j

−jＣ2（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋２）！ｎ^m+1-j

＋jＣ3２！（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋３）！ｎ^m+1-j

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

＋（−１）^j-1（ｊ−１）！（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋ｊ）！ｎ^m+1-j）

［２］第２項　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

−１／（ｍ＋１）ΣＢj／ｊ！（

＋jＣ1（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋１）！

−jＣ2（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋２）！

＋jＣ3２！（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋３）！

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

＋（−１）^j+1（ｊ−１）！（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋ｊ）！）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］第１項　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

１／（ｍ＋１）ΣＢj（（ｍ＋１，ｊ）ｎ^m+1-jｘｏｇｎ＋

＋（ｍ＋１，ｊ−１）ｎ^m+1-j／１！

−（ｍ＋１，ｊ−２）ｎ^m+1-j／２！

＋（ｍ＋１，ｊ−３）ｎ^m+1-j／３！

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

＋（−１）^j-1（ｍ＋１，ｍ＋１）ｎ^m+1-j／ｊ！）

［２］第２項　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

−１／（ｍ＋１）ΣＢj（

＋（ｍ＋１，ｊ−１）／１！

−（ｍ＋１，ｊ−２）／２！

＋（ｍ＋１，ｊ−３）／３！

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

＋（−１）^j+1）（ｍ＋１，ｍ＋１）／ｊ！）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］第１項　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

１／（ｍ＋１）ΣＢjｎ^m+1-j（（ｍ＋１，ｊ）ｌｏｇｎ＋（ｍ＋１，ｊ−１）／１！−（ｍ＋１，ｊ−２）／２！＋（ｍ＋１，ｊ−３）／３！＋・・・＋（−１）^j-1（ｍ＋１，ｍ＋１）／ｊ！）

［２］第２項　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

−１／（ｍ＋１）ΣＢj（（ｍ＋１，ｊ−１）／１！−（ｍ＋１，ｊ−２）／２！＋（ｍ＋１，ｊ−３）／３！＋・・・＋（−１）^j+1）（ｍ＋１，ｍ＋１）／ｊ！）

［３］第３項　　ｊ＝［０，ｍ］

　　Σｋ^m＝１／（ｍ＋１）・ΣＢj（ｍ＋１，ｊ）ｎ^(m+1-j)

として，−Σｋ^m

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ここで，第１項，第２項から第３項の分を差し引くと

［１］第１項　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

１／（ｍ＋１）ΣＢjｎ^m+1-j（（ｍ＋１，ｊ）（ｌｏｇｎ−１）＋（ｍ＋１，ｊ−１）／１！−（ｍ＋１，ｊ−２）／２！＋（ｍ＋１，ｊ−３）／３！＋・・・＋（−１）^j-1（ｍ＋１，ｍ＋１）／ｊ！）

＋Ｂm+1

［２］第２項　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

−１／（ｍ＋１）ΣＢj（（ｍ＋１，ｊ−１）／１！−（ｍ＋１，ｊ−２）／２！＋（ｍ＋１，ｊ−３）／３！＋・・・＋（−１）^j+1）（ｍ＋１，ｍ＋１）／ｊ！）

となる．

　結局，

Σｋ^mｌｏｇｋ＝

１／（ｍ＋１）ΣＢj（ｎ^m+1-j−１）ｌｏｇｎ＋

１／（ｍ＋１）ΣＢj（ｎ^m+1-j−１）（（ｍ＋１，ｊ−１）／１！−（ｍ＋１，ｊ−２）／２！＋（ｍ＋１，ｊ−３）／３！＋・・・＋（−１）^j-1（ｍ＋１，ｍ＋１）／ｊ！）

＋Ｂm+1

　　ｊ＝［０，ｍ＋１］，ｋ＝［１，ｊ］

　これ以上簡単になりそうにはないが，はたしてあっているのだろうか？

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