ｆ（ｘ）＝ｘ^mｌｏｇｘ，ａ＝１，ｂ＝ｎとおき，

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）∫(a-h1,b+h2)ｆ（ｘ）ｄｘ｜h=0＝�狽�（ｋ）

の左辺を計算し直すことにする．

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　　∫(a-h1,b+h2)ｆ（ｘ）ｄｘ

＝［ｘ^m+1ｌｏｇｘ／（ｍ＋１）］(a-h1,b+h2)−∫(a-h1,b+h2)ｘ^mｄｘ

［（ｘ^m+1ｌｏｇｘ）／（ｍ＋１）］(a-h1,n+h2)

＝（（ｎ＋ｈ2）^m+1ｌｏｇ（ｎ＋ｈ2）−（１−ｈ1）^m+1ｌｏｇ（１−ｈ1）））／（ｍ＋１）

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）∫(a-h1,b+h2)ｆ（ｘ）ｄｘ｜h=0＝�狽�（ｋ）

の左辺を計算してみる．

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）∫(a-h1,n+h2)ｘ^mｌｏｇｘｄｘ｜h=0

＝１／（ｍ＋１）｛Ｔｄ（∂／∂ｈ）（ｎ＋ｈ2）^m+1ｌｏｇ（ｎ＋ｈ2）｜h=0−Ｔｄ（∂／∂ｈ）（１−ｈ1）^m+1ｌｏｇ（−ｈ1）｜h=0−Ｔｄ（∂／∂ｈ）｛（ｎ＋ｈ2）^m+1）−（１−ｈ1）^m+1｝｜h=0

　二項定理は

　　（ｕ＋ｖ）^n＝ΣnＣrｕ^n-rｖ^r

であるが，ここで，第１項，第２項にライプニッツの公式

　　（ｕｖ）^(n)＝ΣnＣr（ｕ）^(n-r)（ｖ）^(r)

を適用する．

［１］第１項

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）（ｎ＋ｈ2）^m+1ｌｏｇ（ｎ＋ｈ2）｜h2=0

＝ΣＢj／ｊ！（∂／∂ｈ2）^j（ｎ＋ｈ2）^m+1ｌｏｇ（ｎ＋ｈ2）｜h2=0

｛（ｎ＋ｈ2）^m+1ｌｏｇ（ｎ＋ｈ2）｝^(j)

＝ΣjＣk（（ｎ＋ｈ2）^m+1）^(j-k)（ｌｏｇ（ｎ＋ｈ2））^(k)

ｋ＝０のとき

　　（∂／∂ｈ2）^j（（ｎ＋ｈ2）^m+1）^(j)ｌｏｇ（ｎ＋ｈ2）｜h2=0

　＝（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ）！ｎ^m+1-jｌｏｇｎ

ｋ≠０のとき

　　（∂／∂ｈ2）^j（（ｎ＋ｈ2）^m+1）^(j-k)（ｌｏｇ（ｎ＋ｈ2））^(k)｜h2=0

　＝（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋ｋ）！ｎ^m+1-j+k・（−１）^k-1（ｋ−１）！ｎ^ｰk

　＝（−１）^k-1（ｋ−１）！（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋ｋ）！ｎ^m+1-j

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］第２項

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）（１−ｈ1）^m+1ｌｏｇ（１−ｈ1）｜h1=0

＝ΣＢj／ｊ！（∂／∂ｈ1）^j（１−ｈ1）^m+1ｌｏｇ（１−ｈ1）｜h1=0

｛（１−ｈ1）^m+1ｌｏｇ（１−ｈ1）｝^(j)

＝ΣjＣk（（１−ｈ1）^m+1）^(j-k)（ｌｏｇ（１−ｈ1））^(k)

ｋ＝０のとき

　　（∂／∂ｈ1）^j（（１−ｈ1）^m+1）^(j)ｌｏｇ（１−ｈ1）｜h1=0＝０

ｋ≠０のとき

　　（∂／∂ｈ2）^j（（１−ｈ1）^m+1）^(j-k)（ｌｏｇ（１−ｈ1））^(k)｜h1=0

　＝（−１）^j（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋ｋ）！・（−１）（ｋ−１）！　＝（−１）^j+1（ｋ−１）！（ｍ＋１）！／（ｍ＋１−ｊ＋ｋ）！

　第３項については次回の宿題としたい．

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