【１】まんじゅう等分問題
（Ｑ）半径１の半球を底面と平行な平面ｙ＝ａで切って，体積を２等分するにはどこで切ればよいか．
（Ａ）y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる回転体の体積は
V[y]=π∫y^2dx
で与えられる．y=(1-x^2)^(1/2)とおくと
V[y]=π∫(1-x^2)dx
π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3
が球全体の１／４になればよい．
π∫(0,a)(1-x^2)dx=π(3a-a^3)/3=π/3
a^3-3a+1=0
a=0.3472963553=2cos10
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【２】３角形の面積の２等分線
図形を等しく分ける問題をもう１題，正三角形の面積を２等分する線の問題である．正三角形の１辺の長さを１とする（面積√３／４）．底辺に垂直な線で２等分すると垂線の長さは√３／２＝０．８６６０２５・・・となる．
（Ｑ）底辺と平行な線で切って，面積を２等分するにはどこで切ればよいか．
（Ａ）水平線の長さｘとすると
√３／２ｘ^2＝√３／４ ｘ＝√２／２
したがって，水平線の長さは√２／２＝０．７０７１０７・・・となり垂線の長さ√３／２よりこの方が短い．
この水平線は最短の２等分直線であるが，２等分曲線にはもっと短いものがある．
（Ｑ）正三角形を最短長の曲線で２等分せよ．
（Ａ）正三角形を次々に辺について反転させて１頂点のまわりに６個集めて正六角形を作る（面積３√３／２）．そして，六角形の中心を中心とする円でこの面積を２等分する．円の半径をｘとすると
πｘ^2＝３√３／４
ｘ＝（３√３／４π）^(1/2)＝０．６４３０３７・・・
したがって，円弧の長さは
π／３（３√３／４π）^(1/2)＝０．６７３３８７・・・
となり，このほうが短いことがわかる．
モーザーはこのようにして最短周長曲線は円弧であることを示した．等分曲線がどのような形であろうと正三角形を次々に辺について反転させて１頂点のまわりに６個集めて正六角形を作れば２等分曲線は閉曲線になるから，円が与えられた面積を囲む最短周長曲線であるというわけである．
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ところで，正三角形の場合に限らず，３角形の中線は面積を２等分する．１辺に平行で他の２辺を（√２−１）：１で内分する線分も３角形の面積の２等分線となる．三角形を直線によって面積を２等分するとき，その包絡線は小さい三角状の曲線（双曲線）になることがボールにより示されている（1980年）．１：１から比率を変えると弧が分離したような形になり，その領域は比率を変えるにつれて大きくなり，３角形そのものに近づいていく．
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【３】正方形の面積の２等分線
（Ｑ）正方形を最短長線で２等分せよ．
（Ａ）底辺に垂直な線で２等分すると垂線の長さは１，対角線で２等分すると長さは√２となる．一方，正方形を次々に辺について反転させて１頂点のまわりに４個集めて正方形を作る（面積４）．そして，正方形の中心を中心とする円でこの面積を２等分する．円の半径をｘとすると
πｘ^2＝２
ｘ＝（２／π）^(1/2)＝０．７９７８８５・・・
したがって，円弧の長さは
π／２（２／π）^(1/2)＝（π／２）^(1/2)＝１．２５３３１・・・
すなわち
１＜（π／２）^(1/2)＜√２
となり，垂線よりこのほうが長いことがわかる．
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高次元の立方体の断面積に関するボールの不等式を紹介しよう．１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．
また，（３次元）単位立方体の断面は，３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．
２次元・３次元での問題は，４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともでき，ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
１≦Ｖ≦√２
であることが，ボールによって証明されている（1986年）．
ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点である．ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立するが，こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は，高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像される．
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【４】相貫円柱
断面の形が正方形の四角柱を中心軸が直交するように相貫させると，共通部分は立方体となる．２本のときでも３本のときでも立方体である．しかし，半径が等しい２つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき，その共通部分がどのような形になるのか，頭の中で想像するのもなかなか難しい．
（Ｑ）２本の円柱が直角に交わっているとき，共通部分の体積はいくらか．
（Ａ）直角の交差する２本の円筒がテーブルの上に横にして置かれているとしよう．どちらの円筒にも球を入れることができるから，２本の共通部分は球より大きく，球を正八面体状に膨らましたものになる．
共通部分に球を入れたまま，テ−ブルに水平な平面で２本の円筒を切断すると，切り口は球に接する正方形になる．円とその外接正方形の面積比はπ：４であるから，カバリエリの原理により，球の体積の４／π倍であることがわかる．単位球であれば
４π／３×４／π＝１６／３
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アルキメデスは円柱の直径をｄとするとその体積は
２／３ｄ^3
になることを知っていたようである．円柱を３本にすると同じように得られる曲面立体についてはより複雑になる．
（Ａ）半径が等しい３つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき，その共通部分は立方八面体の双対である菱形１２面体を丸く膨らましたような形で１２の曲面で囲まれた立体になる．その体積は円柱の直径をｄとすると
（２−√２）ｄ^3
になる．
（Ａ）半径が等しい４つの円柱を中心軸が正４面体の対称性をもって相貫させたとき，その共通部分は菱形立方八面体の双対である凧型２４面体を丸く膨らましたような形で２４枚の側面をもつ．その体積は円柱の直径をｄとすると
３√２／２（２−√３）ｄ^3
になる．
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円や球は簡単な図形であるが，いろいろと面白い性質をもっていて昔からよく研究されている．ケプラー問題（３次元空間に球をできるだけ高い密度で詰めるときの最大密度は？）やニュートンの１３球問題（１個の単位球に最大何個の球が同時に接することができるか？）などはその例である．
前原潤「円と球面の幾何学」朝倉書店
は実によく書かれた本で，円と球面に関するものではこれ以外に適当な参考書が見あたらないといってもよいだろう．
接する円の族に関する定理では何百という美しい定理があるが，シュタイナー円鎖だけを述べておきたい．小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていのばあい，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．これがシュタイナー円鎖である．
最も簡単なものとしては，たとえば，半径が３と１の同心円に対しては６個の単位円よりなるシュタイナー円鎖が存在し，円の中心の軌跡は半径２の円となる（円の最密充填）．
シュタイナー円鎖をなす円の中心の軌跡は楕円となる．アルキメデスのアルベロス（靴屋のナイフ）円列はシュタイナーの円鎖の特別な場合になっていて，円の中心はすべて基線上に長径をもつ楕円の上にのっている．
ソディー（アイソトープの発見でノーベル賞を受賞した英国の化学者）の６球連鎖はシュタイナー円鎖の３次元版であるが，シュタイナー円鎖の場合とは異なって，球連鎖は常に繋がり必ず６個の球からなる．そして６個の球の中心，球同士の接点はすべて同一平面上にあるのである．
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【５】一葉回転双曲面と線織面
相貫円柱の共通部分がどのような形になるのか，頭の中で想像するのも難しかったが，次の問題はどうだろう．
（Ｑ）立方体・正２０面体を１つの頂点とその対蹠点を結ぶ対角線を軸として回転させて得られる立体はどのような形になるのか？
（Ａ）サイコロ（立方体）を親指と人差指の間に挟んでそれを回転させ横から眺める．正２０面体を回転させても同様であり，それは蓋・胴・底の３つの部分からなる回転体となる．この場合，蓋と底は明らかに円錐となるが，胴の部分は円柱ではないので注意を要する．
直線が連続的に動いて作られる面を「線織面」という．軸の周りを回転する線分が軸と平行ならば円柱面になる．平行ではないが同一平面上にあれば円錐面を形成する．（同一平面上になく）軸とねじれの位置にある線分を軸の周りを回転させると一葉双曲面が作られる．したがって，答えは，２つの円錐の間に（円柱ではなく）つづみ型をした一葉双曲面が見られるというものである．
なお，正４面体は非中心対称であるから単円錐，正８面体は中心対称であるから重円錐になる．また，正１２面体では５つの部分（円錐・３つの一葉双曲面・円錐）からなる回転体となる．
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［補］代数曲面の分類
空間内の２次曲面の分類はよく知られていて，２次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０は楕円面，一葉双曲面，二葉双曲面，楕円放物面，双曲放物面のどれかに分類されます．２次曲面には無数に多くの直線がのっているものがあり，その場合には直線を織りなして得られる曲面という意味で「線織面」と呼ばれます．直線が乗っている曲面といいかえてももよいでしょう．
円柱や円錐，一葉双曲面は線織面になっています．円柱や円錐は１通りの直線族でできていますが，線織面の中には２通りの直線族によって作られているものもあり，一葉双曲面や双曲放物面がその例です．線織面のガウス曲率は常にゼロ以下ですが，ガウス曲率が常にゼロより小さく２通りの直線族によって作られているものは一葉双曲面と双曲放物面の２つに限られます．（３通りの直線族によって作られるものは平面だけです．）
２次曲面が直線の族を含んでいるという事実は建築でも実際に応用されますが，カーブを描いた曲面をコンクリートを使って建設できるということは明らかに利点です．
一方，３次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０には，高々２７本の直線しか含まないことが証明されています（サルモン，１８８４年）．１次曲面（平面）は∞^2個，２次曲面は∞^1個の直線を含み，一般の３次曲面では（少なくとも１本の直線を含むが）その数は高々有限個（２７本）です．それに対して，一般のｎ次曲面（ｎ＞３）は直線を全然含んでいません．
代数曲線は，種数を用いて，有理曲線，楕円曲線，超楕円曲線などに分類されますが，（極小）代数曲面は，種数と小平次元，不正則数の組合せを使って分類され，Ｋ３曲面，エンリケス曲面，アーベル曲面，楕円曲面，超楕円曲面などに分類されることが示されています．このようにして，１９００年当時まで，５次曲線までと３次曲面までのトポロジカルな分類は既に知られていたようです．→コラム「代数幾何学小話」参照
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［補］代数曲線の次数
２変数ｘ，ｙの多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０で定義される曲線を平面代数曲線と呼びます．ｆ（ｘ，ｙ）＝０が２次式の場合，その一般式は，
ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０
のごとく，項数６の多項式として書くことができます．２次曲線には楕円，放物線，双曲線があり，それらは円錐（必ずしも直円錐でなくてよい）を平面で切断したときの切り口として現れる一群の曲線，すなわち円錐曲線です．
同様に，３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線です．３次曲線の例としては，ディオクレスのシッソイド（ｘ^3＋ｘｙ^2＝ｙ^2）があげられますが，これは古代ギリシアにおいて立方体倍積問題に用いられた曲線です．また，
ｙ＝ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１
ｙ^3＝ｘｙ^2−２ｘ^2ｙ＋ｙ−３
なども３次曲線で，一般式の項数は１０になります．平面内ｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の一般式の項数は，
3Ｈn＝n+2Ｃn＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２
で計算されます．
２次曲線の分類については，３種類の円錐曲線，すなわち楕円，双曲線，放物線になることは既に述べたとおりですが，同じことをもっと高次の曲線・曲面に対して考えるのは自然なことでしょう．３次曲線の分類には，２次曲線とは異なった種類の難解さが要求されましたが，ニュートンはあらゆる場合を考察して，最終的に３次曲線は全部で７８種類が必要であることを示すに至り，さらに３次曲線の一般式が５個の標準形に帰することを示しました．
ニュートンの３次曲線の分類に引き続いて，オイラーは４次平面曲線の分類を企てましたが，可能な場合の数が非常に多いという理由で断念しています．この問題に対する答えは長い間知られていなかったのですが，プリュッカーが１９世紀に４次曲線の１５２の型を数え上げることによって解かれました．
また，一直線上にない３点を通る２次曲線，４点を通る３次曲線はただひとつ存在しますが，それは座標軸の方向が定まっている場合：
ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ，ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ
のようにｙ＝ｆ（ｘ）の場合であって，一般には，平面上の任意の位置にある５点が唯一の円錐曲線を決定します．ニュートンは「プリンキピア」のなかで５点を通る円錐曲線の作図法などを案出しながら壮大な天体力学を展開しています．
ｎ次平面代数曲線の方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０は，（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２個の係数をもっていますが，ｆに定数を掛けても曲線は変わりませんから，ｎ次曲線はｎ（ｎ＋３）／２個のパラメータに依っていることになります．そこで，平面内に与えられたｎ（ｎ＋３）／２個の点（ｘi，ｙi）を通るという条件によって曲線を決定するという問題が自然に提起されます．ニュートンはこうした研究を応用して，２次曲線上の５点，３次曲線上の７点が与えられた場合にこれを作図する方法を見いだしたのです．
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［補］射影変換
放物線，楕円，双曲線はまとめて円錐曲線とも呼ばれますが，２次式で定義されるので，２次曲線ともいいます．そして，無限遠点を導入して，考えている曲線を射影曲線として捉えると，２次曲線はひとつのものとして統一的に考えられるようになります（射影幾何）．なぜなら，違いは無限遠直線の選び方（無限遠直線と交わらない，接する，交わる）にあるだけであって，どれも同種の曲線と考えることができるからです．
一方，３次曲線は，射影変換を用いれば次のいずれかに変換されます．
(1)ｙ^2＝ｘ^3
(2)ｙ^2＝ｘ^2（ｘ−１）
(3)ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）
(1)は「く」の字型曲線で原点で尖点をもちます．(2)は「の」の字型曲線で原点を通ったところでループを描いて自分自身と交差しますから，原点が２重点となります．(3)はループと弓形曲線の２つに分離します．すなわち，(1)(2)は特異点をもち，(3)は非特異です．したがって，滑らかな非特異３次曲線は(3)の形に表せます．これらは特異点による分類といってもよいのですが，射影変換によって互いに写り合う３次曲線は同型とみなされます．
４次曲線（項数１５）とか５次（項数２１）以上の高次曲線に対しても射影変換を考えることができます．特異点をもつ３次曲線は適当に座標変換（射影変換）すると(1),(2)のどちらかになりましたが，４次曲線では２０タイプあります．その後，５次曲線は２３０余りのタイプに分類されることが示されましたが，ｎ≧６では複雑すぎてよくわからないようです．
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［補］代数曲線の種数と双有理変換
射影変換は高次の曲線に対しては非力なので，より強力な双有理変換を用いて，２次曲線と射影直線とを同一視できるようになれば，それは射影幾何を超えて代数幾何の立場に立つことになります．そして，種数の概念は，曲線の特異点を双有理変換を行って解消できるか否かに依っています．
ところで，曲線上の有理点全体を１つの変数の有理式として表すことのできる曲線を有理曲線といいます．２次曲線は有理点を無限にもつか，１つももたないかのどちらかであって，現在では，２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．
３次曲線の場合はどうでしょうか？ (1)(2)の３次曲線は重根をもち，原点（０，０）が特異点になります．そのため，この曲線上のすべての有理点をパラメトライズすることができます．たとえば，
ｙ^2＝ｘ^3 → （ｔ^3，ｔ^2）
ｙ^2＝ｘ^2（ｘ−１） → （ｔ^2＋１，ｔ（ｔ^2＋１））
４次曲線の例も挙げましょう．レムニスケート（双葉曲線）は８の字形（８を９０°回転させ横向きにした∞形）をしていて，その直交座標系での方程式は４次曲線（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝（ｘ^2 −ｙ^2 ）になります．レムニスケートも特異点をもち，
ｘ＝ｔ（ｔ^2＋１）／（１＋ｔ^4 ）
ｙ＝ｔ（ｔ^2−１）／（１＋ｔ^4 ）
のように有理点をパラメトライズすることができます．
一般に，ｆ（ｘ，ｙ）＝０が３次式・４次式のとき，その曲線上に特異点と呼ばれる点が存在するかどうかで，曲線のもつ性質が大きく異なってきます．(1)(2)やレムニスケートはそのような例ですが，それに対して，(3)のように，３次曲線が異なる３根をもつ有理係数の多項式の場合は，楕円曲線と呼ばれる非有理曲線で，２次曲線とは本質的に異なってきます．
２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線（有理曲線）と呼びます．与えられた曲線が有理曲線かどうかを判定するには曲線の種数を求めればよく，それが０なら有理曲線になります．一方，種数が１である曲線に楕円曲線があります．２次曲線はすべて有理曲線ですが，楕円曲線は有理曲線でないことが知られています．すなわち，円錐曲線の有理点は無限ですが，楕円曲線の有理点は有限です．
次数が高いとき曲線は見かけ上複雑になりますが，その曲線の「種数」が小さければ，曲線は双有理変換で簡単なものになります．その意味で，次数よりも種数の方が曲線の本質的な複雑さを表現していると考えられます．
たとえば，モーデル・ファルティングスの定理（１９８３）とは，「種数が２以上の代数曲線（超楕円曲線）は有理点を有限個しかもたない．」というものです．したがって，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．また，リーマン・フルヴィッツの公式より，フェルマー曲線ｘ^n＋ｙ^n＝１は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で，これはｎ＝３のとき１ですが，ｎ≧４のときは２以上となりますから，そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです．
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