■オイラー・マクローリンの和公式とトッド作用素(その11)

 計算を再開する.第1項,第2項にライプニッツの公式を適用する.

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[1]第1項

  Td(∂/∂h)(n+h2)^m+1log(n+h2)|h2=0

=ΣBj/j!(∂/∂h2)^j(n+h2)^m+1log(n+h2)|h2=0

{(n+h2)^m+1log(n+h2)}^(j)

=ΣjCk((n+h2)^m+1)^(j-k)(log(n+h2))^(k)

((n+h2)^m+1)^(j-k)

=(m+1)!/(m+1-j+k)!・(n+h2)^m+1-j+k

=(m+1,j-k)(n+h2)^m+1-j+k

(log(n+h2))^(k)

はk=0のときlog(n+h2)であるが,それ以外のときは

  (-1)^k+1(n+h2)^-k

jCk((n+h2)^m+1)^(j-k)(log(n+h2))^(k)

はk=0のとき(m+1,j-k)(n+h2)^m+1-jlog(n+h2),それ以外のとき,

  (-1)^k+1(m+1,j-k)(n+h2)^m+1-j

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[2]第2項

  Td(∂/∂h)(-h1)^m+1log(-h1)|h1=0

=ΣBj/j!(∂/∂h1)^j(-h1)^m+1log(-h1)|h1=0

=(-1)^m+1ΣBj/j!(∂/∂h1)^jh1^m+1log(-h1)|h1=0

{h1^m+1log(-h1)}^(j)

=ΣjCk(h1^m+1)^(j-k)(log(-h1))^(k)

(h1^m+1)^(j-k)

=(m+1)!/(m+1-j+k)!・h1^m+1-j+k

=(m+1,j-k)h1^m+1-j+k

(log(-h1))^(k)

はk=0のときlog(-h1)であるが,それ以外のときは

  (-1)^kh1^-k

jCk((h1)^m+1)^(j-k)(log(-h1))^(k)

はk=0のとき(m+1,j)h1^m+1-jlog(-h1),それ以外のとき,

  (-1)^k(m+1,j-k)h1^m+1-j

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[3]|h=0

jCk((n+h2)^m+1)^(j-k)(log(n+h2))^(k)|h2=0

はk=0のとき(m+1,j-k)(n)^m+1-jlog(n),それ以外のとき,

  (-1)^k+1(m+1,j-k)(n)^m+1-j

はいいとしても

jCk((h1)^m+1)^(j-k)(log(-h1))^(k)|h1=0

にはlog(-h1)があるが,どうすべきか? 宿題としたい.

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[雑感]計算力が鈍っていること,時間を細切れにしか使えないことから,ある程度しかたないにせよ,まだまだ間違いはあると思われるが,式の概形はできたようである.

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