Σｋ^mｌｏｇｋの計算を始める前に，トッド作用素をベキ和公式Σｋ^mに対して適用してみたい．

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【１】トッド作用素

　ベルヌーイ数の母関数の変数ｘを微分作用素（∂／∂ξ）に置き換えた微分作用素

　　Ｔｄ（∂／∂ξ）＝ΣＢj／ｊ！（∂／∂ξ）^j＝１＋１／２（∂／∂ξ）＋１／１２（∂／∂ξ）^2＋・・・

をトッド作用素という．

　このとき，

　　Ｔｄ（∂／∂ξ）ｅｘｐ（ξｔ）｜ξ=0＝ｔ／（１−ｅｘｐ（−ｔ））

が成り立つ．

　また，ｈ＝（ｈ1，ｈ2）に対し，

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）＝Ｔｄ（∂／∂ｈ1）Ｔｄ（∂／∂ｈ2）

と定めると，ｘの多項式ｆ（ｘ），ａ，ｂを整数とすると

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）∫(a-h1,b+h2)ｆ（ｘ）ｄｘ｜h=0＝�狽�（ｋ）

が成り立つ．

　これは多項式関数ｆ（ｘ）の区間［ａ，ｂ］における格子点和�狽�（ｋ）は，定積分∫(a-h1,b+h2)ｆ（ｘ）ｄｘのｈ＝（ｈ1，ｈ2）に関する変動で表した式で与えられることを意味している．

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　ｆ（ｘ）＝ｘ^m，ａ＝０、ｂ＝ｎとおき，

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）∫(a-h1,b+h2)ｆ（ｘ）ｄｘ｜h=0＝�狽�（ｋ）

の左辺を計算してみる．

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）∫(-h1,n+h2)ｘ^mｄｘ｜h=0

＝Ｔｄ（∂／∂ｈ）（（ｎ＋ｈ2）^m+1−（−ｈ1）^m+1）／（ｍ＋１）｜h=0

＝１／（ｍ＋１）｛Ｔｄ（∂／∂ｈ）（ｎ＋ｈ2）^m+1｜h2=0−（−１）^mＴｄ（∂／∂ｈ）（ｈ1）^m+1）｜h1=0｝

　　Ｔｄ（∂／∂ξ）＝ΣＢj／ｊ！（∂／∂ξ）^j＝１＋１／２（∂／∂ξ）＋１／１２（∂／∂ξ）^2＋・・・

より，

　　Ｔｄ（∂／∂ｈ）（ｎ＋ｈ2）^m+1｜h2=0

＝ΣＢj／ｊ！（∂／∂ｈ2）^j（ｎ＋ｈ2）^m+1｜h2=0

＝ΣＢj（ｍ＋１，ｊ）ｎ^(m+1-j)

また，

　　（−１）^mＴｄ（∂／∂ｈ）（ｈ1）^m+1｜h1=0

＝（−１）^mＢm+1＝−Ｂm+1

　したがって，ベルヌーイのベキ和公式

　　Σｋ^m＝１／（ｍ＋１）・ΣＢj（ｍ＋１，ｊ）ｎ^(m+1-j)

が得られたことになる．

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