ヒルツェブルフの符号数定理（指数定理）について紹介することにしましょう．

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【１】ヒルツェブルフの符号数定理

　Ｍを４の倍数次元の閉じた向きづけ可能な多様体（manifold）Ｍ^4kで，概平行性をもつと仮定する．Ｍの次元をｎとするとき，

　　ｎ＝８なら，Ｍの指数は７で割り切れる

　　ｎ＝１２なら，Ｍの指数は６２で割り切れる

　　ｎ＝１６なら，Ｍの指数は１２７で割り切れる

　　ｎ＝２０なら，Ｍの指数は１４６で割り切れる

　一般に，ｎ＝４ｋ（４の倍数）なら，Ｍの指数は

　　２^(2k)（２^(2k-1)−１）／（２ｋ！）・Ｂk　　　Ｂkはベルヌーイ数

を既約分数になおしたときの分子で割り切れるというのが，ヒルツェブルフの指数定理です．また，多様体Ｍ^4kの符号数がそのＬ種数に等しいというのが，ヒルツェブルフの符号数定理です．

　ここで，Ｂmはｍ番目のベルヌーイ数を指します．ベルヌーイ数の最初のいくつかを書くと，Ｂ1＝１／６，Ｂ2＝１／３０，Ｂ3＝１／４２，Ｂ4＝１／３０，Ｂ5＝５／６６，Ｂ6＝６９１／２７３０，Ｂ7＝７／６，Ｂ8＝３６１７／５１０，・・・

［注］これと混乱しやすい記号も慣用的に使用されているので，注意が必要です．

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【２】ベルヌーイ数

　ヒルツェブルフの符号数定理は微分トポロジーにおける定理であり，一方，ベルヌーイ数は主に数論の世界で用いられる定数であって，ベルヌーイ数など意外なものが顔を出すところに，ヒルツェブルフの定理の奥深さ（？）が感じられます．

　ベルヌーイ数は，数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，元来はベキ乗和の公式

　　Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

を求めるために１７１３年に考案されたものですが，次のようなベキ級数展開に現れる係数として定義されます．

　　ｘ／（１−ｅｘｐ(-x)）＝１＋１／２ｘ＋Σ(-1)^(k-1)Ｂk／（２ｋ）！ｘ^2k

　同じことですが，ベルヌーイ数は

　　ｘ／ｔａｎｈｘ＝ｘｃｏｓｈｘ／ｓｉｎｈｘ

＝１＋Ｂ1／２！（２ｘ）^2−Ｂ2／４！（２ｘ）^4＋Ｂ6／２！（２ｘ）^6−・・・

　あるいは，ｘ／ｔａｎｈｘ＝２ｘ／（ｅｘｐ(2x)−１）＋ｘより，

　　ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）＝１−１／２ｘ＋Ｂ1／２！ｘ^2−Ｂ2／４！ｘ^4＋Ｂ3／６！ｘ^6−・・・

の係数として得られます．

　さらに，ベルヌーイ数を用いたベキ級数展開をいくつか掲げておきます．

ａ）１／ｓｉｎｈ２ｘ＝１／ｔａｎｈｘ−１／ｔａｎｈ２ｘより，

　　ｘ／ｓｉｎｈｘ＝１−（２^2−２）Ｂ1／２！ｘ^2＋（２^4−２）Ｂ2／４！ｘ^4−・・・

ｂ）１／ｔａｎｈｘ＝２／ｔａｎｈ２ｘ−１／ｔａｎｈｘより，

　　ｔａｎｈｘ＝２^2（２^2−１）Ｂ1／２！ｘ−２^4（２^4−１）Ｂ2／４！＋・・・

ｃ）ｔａｎｈｉｘ＝ｉｔａｎｘより，

　　ｔａｎｘ＝２^2（２^2−１）Ｂ1／２！ｘ＋２^4（２^4−１）Ｂ2／４！＋・・・

　母関数は，整数の性質を調べるのにベキ級数の問題（関数論）に翻訳することによって答えを見つけることができる強力な発見手段となっているのですが，これらの式はベルヌーイ数の別の形の母関数表示を与えているものと考えられ，実際，数論的に面白い性質を証明するのに利用することができます．

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　ベルヌーイ数が，整数論にとって欠かすことができない存在なのは，ゼータ関数との関係にその理由があり，リーマンのゼータ関数

　　ζ(s)＝Σ１／ｎ^s＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

とベルヌーイ数との間には，次の公式が成り立ちます．

　　Π１／（１−ｐ^(-2m)）＝ζ(2m)＝Ｂm／２・（２π）^(2m)／（２ｍ）！

　また，どんなＢn／ｎの約数にもならない素数は正則素数と呼ばれるのですが，与えられた素数ｐの正則性を確かめるためには，クンマーの合同式により，

　　１≦ｎ≦（ｐ−１）／２

について，Ｂnの分子を調べればよいことになります．

　１８５０年，クンマーはどんなＢn／ｎの分子の約数にもならない素数（正則素数）をベキ指数とする場合に，フェルマーの最終定理を証明して以来，正則素数の判定にも顔を出す興味深い数となりました．（クンマーは円分体の整数論の研究に専念し，正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立することを示したのですが，正則素数ｐはＢp-3 までのベルヌーイ数Ｂkの分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．）

　Ｂn／ｎを既約分数で表したときの分母を求めることは，１８４０年，クラウセンとフォン・シュタウトの定理により，厳密に求めることが容易になったのですが，Ｂn／ｎの分子はｎに対して急激に増加するため，計算はずっと難しかしくなります．

　以下に，ｎが小さいときの表を掲げておきますが，

　　Ｂn／ｎの分子＞Ｂn／ｎ＞４／√ｅ（ｎ／πｅ）^(2n-1/2)

より，

　　（ｎ／πｅ）^(2n)

のオーダーとなりますから，ｎ＞πｅ＝８．５３９・・・のとき，分子は急激に大きくなることが示されます．

　　ｎ Ｂn／ｎの分子　　ｎ Ｂn／ｎの分子

　≦５ 1 ９ 43867

　　６ 691 10 174611

　　７ 1 11 77683

　　８ 3617 12 236364091

　この分子の値は，平行化可能な多様体の境界となるエキゾチック（４ｎ−１）次元球面の微分同相からなる群が，位数

　　２^(2n)（２^(2n-1)−１）・Ｂn／ｎの分子

の巡回群であることから，微分トポロジーの研究者の注意を引くものとなっていたのですが，Ｂ7の分子が７で割り切れることが，ミルナーがエキゾチック球面の証明に用いた方法に繋がったのです．

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