ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝Πｐ^6／（ｐ^6−１）＝ζ（６）＝π^6／９４５

であるが，

　　Ｑ＝Πｑ^6／（ｑ^6−１）＝？

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　まず，Ｑ＞１は自然に浮かぶところであるが，

　　Ｐ・Ｑ＝Πｎ^6／（ｎ^6−１），ｎ≧２

　一方，ウォリスの公式を３乗すると

　　（２・２／１・３）^3（４・４／３・５）^3（６・６／５・７）^3・・・（２ｎ・２ｎ／（２ｎ−１）・（２ｎ＋１））^3・・・＝（π／２）^3

＝Πｎ^6／（ｎ^3−１／４）^3，ｎ≧１

＝（４／３）^3Πｎ^6／（ｎ^2−１／４）^3，ｎ≧２

したがって，

　　Πｎ^6／（ｎ^2−１／４）^3＝（π／２）^3（３／４）^3

　また，ｎ≧２のとき

　　（ｎ^6−１）−（ｎ^2−１／４）^3＝３ｎ^4／４−３ｎ^2／１６−６３／６４＞０

より，

　　Ｐ・Ｑ＝Πｎ^6／（ｎ^6−１）＜Πｎ^6／（ｎ^2−１／４）^3＝（π／２）^3（３／４）^3

より，

　　Ｑ＜（π／２）^3（３／４）^3／Ｐ＝２５５１５／５１２π^3

となって，上界

　　１＜Πｑ^6／（ｑ^6−１）＜２５５１５／５１２π^3

が得られる．

　結局，

　　１＜Πｑ^2／（ｑ^2−１）＜？

だけ上界が得られなかったことになる．

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