ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・＝π^2／６

であったが，

　　Ｑ＝（４・４／３・５）（６・６／５・７）（８・８／７・９）・・・（ｑ・ｑ／（ｑ−１）・（ｑ＋１））・・・＝？

　正確な値はわからないにせよ，上界・下界を求めてみたい．

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　まず，Ｑ＞１は自然に浮かぶところであるが，

　　Ｐ・Ｑ＝Πｎ^2／（ｎ^2−１），ｎ≧２

　一方，ウォリスの公式は

　　（２・２／１・３）（４・４／３・５）（６・６／５・７）・・・（２ｎ・２ｎ／（２ｎ−１）・（２ｎ＋１））・・・＝π／２

＝Πｎ^2／（ｎ^2−１／４），ｎ≧１

＝４／３Πｎ^2／（ｎ^2−１／４），ｎ≧２

したがって，

　　Πｎ^2／（ｎ^2−１／４）＝π／２・（３／４）

　また，（ｎ^2−１）＜（ｎ^2−１／４）より

　　Ｐ・Ｑ＝Πｎ^2／（ｎ^2−１）＞Πｎ^2／（ｎ^2−１／４）＝π／２・（３／４）

より，

　　Ｑ＞π／２・（３／４）／Ｐ＝３π／８・６／π^2＝９／４π

となって，Ｑ＞１より劣る結果となった．

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