ウォリスの公式は

　　π／２＝（２・２／１・３）（４・４／３・５）（６・６／５・７）・・・（２ｎ・２ｎ／（２ｎ−１）・（２ｎ＋１））・・・

と記すとわかりやすい．この公式の不思議なところは有理数の無限積→πになっている点である．

　それでは，

［Ｑ］全素数にわたる積

　　（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

を求めよ．

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［Ａ］当該の式

　（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

は

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝Π１／（１−１／ｐ^2）

と書いたほうがわかりやすいかもしれない．これはオイラー積であって，

　ζ（２）＝１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^s ＋１／４^2 ＋・・・＝π^2／６

に等しい．

　よって，

　　π^2／６＝（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

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　オイラーの無限級数和Σ１／ｎ^sはｓの関数とみるとき，ゼータ関数ζ（ｓ）として知られており，ζ（２）＝π^2／６と表されます．また，

　ζ（ｓ）＝１／１^s ＋１／２^s ＋１／３^s ＋１／４^s ＋・・・

＝（１＋１／２^s ＋１／４^s ＋１／８^s ＋・・・）（１＋１／３^s ＋１／９^s ＋・・・）（１＋１／５^s ＋・・・）・・・

＝１／（１−２^-s）・１／（１−３^-s）・１／（１−５^-s）・１／（１−７^-s）・・・

＝Π（１−ｐ^-s）^-1　　　（但し，ｐはすべての素数を動く．）

と書き換えることができます．

　１＋ｘ＋ｘ^2 ＋ｘ^3 ＋・・・＝１／（１−ｘ）

にｘ＝１／ｐ^s を代入したものを，Π（１−ｐ^-s）^-1に代入して積を展開すると，ζ（ｓ）＝Σ１／ｎ^s となることがおわかりいただけるでしょうか．

　この式の右辺はオイラー積と呼ばれ，ゼータ関数と素数の間をつなぐ式になっています．したがって，ゼータ関数はすべての素数にわたる無限積であり，このような関係から，自然数全体についての和の話が素数全体についての積の話になります．

　これにより，１／ζ（ｓ）はｓ個の整数を勝手に選んだとき，同時に割り切ることのできる１でない数が存在しない確率であることがわかります．すなわち，２つの整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π^2 （６１％）となります．数学は無限の科学といわれていますが，πの無限級数が無限にある素数と深く関係していたのです．

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