【１】アダマール行列

　アダマール行列Ｈnは＋１か−１の要素をもつｎ×ｎ行列で，その行と列は互いに直交している．各行または列のノルム（各要素の２乗和）はｎであるから，

　　ＨnＨn’＝Ｈn’Ｈn＝ｎＩn

が成り立つ．

　　ｄｅｔ｜ｎＩn｜＝ｎ^n

より

　　ｄｅｔ｜Ｈn｜＝ｎ^n/2

　最も簡単なアダマール行列は

　　Ｈ2 ＝［１，　１］

　　　　　［１，−１］

である．すべての他のアダマール行列はｎ＝４ｋであることが必要である．

　とくに興味深いのは「直積」

　　Ｈ4＝Ｈ2×Ｈ2（２^2×２^2行列），

　　Ｈ8＝Ｈ2×Ｈ2×Ｈ2（２^3×２^3行列），

　　Ｈn＝Ｈ2×Ｈ2×Ｈ2・・・（２^n×２^n行列）

によって，Ｈ2から得られるｎ＝２^mのシルベスタ型のアダマール行列で，

　　　　　［１，　１，　１，　１］

　　Ｈ4 ＝［１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，　１，　１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，　１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，　１，　１，−１，−１］

　　Ｈ8 ＝［１，−１，−１，　１，　１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，−１，−１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，−１，　１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，−１，−１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，−１，　１，−１，　１，　１，−１］

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【２】アダマール行列の直積

　なお，Ａ（ｍ×ｎ行列）とＢ（ｍ’×ｎ’行列）の直積（クロネッカー積）は，２つの行列の各要素を直接乗じて作る（ｍｍ’×ｎｎ’）行列である．直積では第１項の各要素をその項と第２項との積で置き換えることによって定義される．

　両者の成分のすべての積を作り，各要素を（ｃi'j'）＝（ａijｂkl）において，

　　ｉ’＝ｉ＋ｍ（ｋ−１）

　　ｊ’＝ｊ＋ｎ（ｌ−１）

の式にしたがって並べると，

　　１≦ｉ≦ｍ，１≦ｊ≦ｎ，１≦ｋ≦ｍ’，１≦ｌ≦ｎ’

より，

　　１≦ｉ’≦ｍｍ’，１≦ｊ’≦ｎｎ’

　また，正方行列Ｘ（ｎ×ｎ行列）とＹ（ｍ×ｍ行列）の直積の固有値は，Ｘのｎ個の固有値とＹのｍ個の固有値の積である．テンソルの数学的定義はそれが何であるかよりも座標変換に対していかに振る舞うかによって規定するから，理解しにくいかもしれない．

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【３】アダマール行列と正単体

　たとえば，Ｚ^3内の正四面体（１，１，１），（−１，１，−１），（−１，−１，１），（１，−１，−１）の４頂点の右端に１をつけて正方行列にすると，アダマール行列Ｈ4

　　［　１，　１，　１，１］

　　［−１，　１，−１，１］

　　［−１，−１，　１，１］

　　［　１，−１，−１，１］

が得られる．

　このように頂点の座標成分がすべて１か−１であるような格子正単体が存在することとｎ＋１次アダマール行列が存在することは同値である．

　また，ｍ次アダマール行列が存在すればｍは４の倍数であるから，ｎ＋１は４の倍数でなければならない．

　この逆，ｍが４の倍数であるならば，ｍ次アダマール行列が存在するがアダマール予想と呼ばれる未解決の難問である．ｍが２のベキのとき，アダマール行列は存在する．多くの４の倍数に対して，アダマール行列が存在することが知られている．

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