空間充填２（２^n－１）面体の場合について，再度計算してみる．

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　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(-1/2}・２^n/2／ｎ^n

～　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

　　ｒ^n～ＶnΓ(n/2+1)／π^(n/2)

が成立しなければならない．

　ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　ｒ^2k～Ｖ2kｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・２^k／（２ｋ）^2k・ｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・２^k／（２ｋ）^2k・ｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・（２πｋ^2）^-k・ｋ！

＝（ｎ＋１）^(-1/2}・（πｎ^2／２）^-n/2・（ｎ／２）！

　スターリングの近似式より，ｎ→∞になるにつれて

　　（ｎ／２）！～√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（－ｎ／２）

であるから

　　ｒ^n～（ｎ＋１）^(-1/2}・（πｎ）^-n/2√（πｎ）ｅｘｐ（－ｎ／２）

～√（πｎ）／（ｎ＋１）（ｅπｎ）^-n/2

～√π（ｅπｎ）^-n/2

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　一方，

　　ｈj＝｛（ｊ＋１）（ｎ－ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^1/2＝ｒ

であるから，　

　　ｒ^n＝｛（ｊ＋１）（ｎ－ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^n/2

　　（ｎ－ｊ）／ｎ＝１－ｊ／ｎ

　　｛（ｎ－ｊ）／ｎ｝^n～ｅｘｐ（－ｊ）

　　｛（ｎ－ｊ）／ｎ｝^n/2～ｅｘｐ（－ｊ／２）

　　（ｊ＋１）／（ｎ＋１）～ｊ／ｎ

より

　　ｒ^n＝｛（ｊ＋１）（ｎ－ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^n/2

～（ｊ／ｎ）^n/2ｅｘｐ（－ｊ／２）（２ｎ）^-n/2

　両者を比較すると，

　　（ｊ／ｎ）^n/2ｅｘｐ（－ｊ／２）～√π（ｅπ／２）^-n/2

対数をとると

　　ｎ／２ｌｏｇ（ｊ／ｎ）－ｊ／２＝－ｎ／２ｌｏｇ（ｅπ／２）＋１／２ｌｏｇπ

　　ｌｏｇ（ｊ／ｎ）－ｊ／ｎ＝－ｌｏｇ（ｅπ／２）＋１／ｎｌｏｇπ

となって，ｊはきれいな形では求められないようだ．

　そこで，２次方程式を解く方法に切り換える．

　　｛（ｊ＋１）（ｎ－ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝～（π）^1/n／ｅπｎ

　　｛（ｊ＋１）（ｎ－ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝～１／ｅπｎ

　　｛（ｊ＋１）（ｎ－ｊ）／２ｎ（ｎ＋１）｝～１／ｅπ

　　｛（ｊ＋１）（ｎ－ｊ）｝～２／ｅπ・ｎ（ｎ＋１）

　　ｊ^2＋（１－ｎ）ｊ－ｎ＋２／ｅπ・ｎ（ｎ＋１）＝０

　　ｊ＝１／２｛ｎ－１±√（ｎ^2－２ｎ＋１＋４ｎ－８／ｅπ・ｎ（ｎ＋１））

　　ｊ／ｎ＝１／２｛１－１／ｎ±√（１－２／ｎ＋１／ｎ^2＋４／ｎ－８／ｅπ）

　　ｊ／ｎ＝１／２｛１＋√（１－８／ｅπ）｝→１／２

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