■スターリングの公式の図形的証明?(その65)

 空間充填2(2^n-1)面体の場合について,再度計算してみる.

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  Vn=(n+1)^(-1/2}・2^n/2/n^n

~ π^(n/2)/Γ(n/2+1)・r^n

  r^n~VnΓ(n/2+1)/π^(n/2)

が成立しなければならない.

 ここでは偶数次元の場合(n=2k)だけを扱うことにするが,

  r^2k~V2kk!/π^k

=(2k+1)^(-1/2}・2^k/(2k)^2k・k!/π^k

=(2k+1)^(-1/2}・2^k/(2k)^2k・k!/π^k

=(2k+1)^(-1/2}・(2πk^2)^-k・k!

=(n+1)^(-1/2}・(πn^2/2)^-n/2・(n/2)!

 スターリングの近似式より,n→∞になるにつれて

  (n/2)!~√(πn)(n/2)^n/2exp(-n/2)

であるから

  r^n~(n+1)^(-1/2}・(πn)^-n/2√(πn)exp(-n/2)

~√(πn)/(n+1)(eπn)^-n/2

~√π(eπn)^-n/2

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 一方,

  hj={(j+1)(n-j)/2n^2(n+1)}^1/2=r

であるから, 

  r^n={(j+1)(n-j)/2n^2(n+1)}^n/2

  (n-j)/n=1-j/n

  {(n-j)/n}^n~exp(-j)

  {(n-j)/n}^n/2~exp(-j/2)

  (j+1)/(n+1)~j/n

より

  r^n={(j+1)(n-j)/2n^2(n+1)}^n/2

~(j/n)^n/2exp(-j/2)(2n)^-n/2

 両者を比較すると,

  (j/n)^n/2exp(-j/2)~√π(eπ/2)^-n/2

対数をとると

  n/2log(j/n)-j/2=-n/2log(eπ/2)+1/2logπ

  log(j/n)-j/n=-log(eπ/2)+1/nlogπ

となって,jはきれいな形では求められないようだ.

 そこで,2次方程式を解く方法に切り換える.

  {(j+1)(n-j)/2n^2(n+1)}~(π)^1/n/eπn

  {(j+1)(n-j)/2n^2(n+1)}~1/eπn

  {(j+1)(n-j)/2n(n+1)}~1/eπ

  {(j+1)(n-j)}~2/eπ・n(n+1)

  j^2+(1-n)j-n+2/eπ・n(n+1)=0

  j=1/2{n-1±√(n^2-2n+1+4n-8/eπ・n(n+1))

  j/n=1/2{1-1/n±√(1-2/n+1/n^2+4/n-8/eπ)

  j/n=1/2{1+√(1-8/eπ)}→1/2

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