空間充填２（２^n−１）面体の場合について，再度計算してみる．

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　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(-1/2}・２^n/2／ｎ^n

〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

　　ｒ^n〜ＶnΓ(n/2+1)／π^(n/2)

が成立しなければならない．

　ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　ｒ^2k〜Ｖ2kｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・２^k／（２ｋ）^2k・ｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・２^k／（２ｋ）^2k・ｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・（２πｋ^2）^-k・ｋ！

＝（ｎ＋１）^(-1/2}・（πｎ^2／２）^-n/2・（ｎ／２）！

　スターリングの近似式より，ｎ→∞になるにつれて

　　（ｎ／２）！〜√（πｎ）（ｎ／２）^n/2ｅｘｐ（−ｎ／２）

であるから

　　ｒ^n〜（ｎ＋１）^(-1/2}・（πｎ）^-n/2√（πｎ）ｅｘｐ（−ｎ／２）

〜√（πｎ）／（ｎ＋１）（ｅπｎ）^-n/2

〜√π（ｅπｎ）^-n/2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　一方，

　　ｈj＝｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^1/2＝ｒ

であるから，　

　　ｒ^n＝｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^n/2

　　（ｎ−ｊ）／ｎ＝１−ｊ／ｎ

　　｛（ｎ−ｊ）／ｎ｝^n〜ｅｘｐ（−ｊ）

　　｛（ｎ−ｊ）／ｎ｝^n/2〜ｅｘｐ（−ｊ／２）

　　（ｊ＋１）／（ｎ＋１）〜ｊ／ｎ

より

　　ｒ^n＝｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^n/2

〜（ｊ／ｎ）^n/2ｅｘｐ（−ｊ／２）（２ｎ）^-n/2

　両者を比較すると，

　　（ｊ／ｎ）^n/2ｅｘｐ（−ｊ／２）〜√π（ｅπ／２）^-n/2

対数をとると

　　ｎ／２ｌｏｇ（ｊ／ｎ）−ｊ／２＝−ｎ／２ｌｏｇ（ｅπ／２）＋１／２ｌｏｇπ

　　ｌｏｇ（ｊ／ｎ）−ｊ／ｎ＝−ｌｏｇ（ｅπ／２）＋１／ｎｌｏｇπ

となって，ｊはきれいな形では求められないようだ．

　そこで，２次方程式を解く方法に切り換える．

　　｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝〜（π）^1/n／ｅπｎ

　　｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝〜１／ｅπｎ

　　｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ（ｎ＋１）｝〜１／ｅπ

　　｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）｝〜２／ｅπ・ｎ（ｎ＋１）

　　ｊ^2＋（１−ｎ）ｊ−ｎ＋２／ｅπ・ｎ（ｎ＋１）＝０

　　ｊ＝１／２｛ｎ−１±√（ｎ^2−２ｎ＋１＋４ｎ−８／ｅπ・ｎ（ｎ＋１））

　　ｊ／ｎ＝１／２｛１−１／ｎ±√（１−２／ｎ＋１／ｎ^2＋４／ｎ−８／ｅπ）

　　ｊ／ｎ＝１／２｛１＋√（１−８／ｅπ）｝→１／２

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