空間充填2(2^n-1)面体の場合について,再度計算してみる.
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Vn=(n+1)^(-1/2}・2^n/2/n^n
~ π^(n/2)/Γ(n/2+1)・r^n
r^n~VnΓ(n/2+1)/π^(n/2)
が成立しなければならない.
ここでは偶数次元の場合(n=2k)だけを扱うことにするが,
r^2k~V2kk!/π^k
=(2k+1)^(-1/2}・2^k/(2k)^2k・k!/π^k
=(2k+1)^(-1/2}・2^k/(2k)^2k・k!/π^k
=(2k+1)^(-1/2}・(2πk^2)^-k・k!
=(n+1)^(-1/2}・(πn^2/2)^-n/2・(n/2)!
スターリングの近似式より,n→∞になるにつれて
(n/2)!~√(πn)(n/2)^n/2exp(-n/2)
であるから
r^n~(n+1)^(-1/2}・(πn)^-n/2√(πn)exp(-n/2)
~√(πn)/(n+1)(eπn)^-n/2
~√π(eπn)^-n/2
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一方,
hj={(j+1)(n-j)/2n^2(n+1)}^1/2=r
であるから,
r^n={(j+1)(n-j)/2n^2(n+1)}^n/2
(n-j)/n=1-j/n
{(n-j)/n}^n~exp(-j)
{(n-j)/n}^n/2~exp(-j/2)
(j+1)/(n+1)~j/n
より
r^n={(j+1)(n-j)/2n^2(n+1)}^n/2
~(j/n)^n/2exp(-j/2)(2n)^-n/2
両者を比較すると,
(j/n)^n/2exp(-j/2)~√π(eπ/2)^-n/2
対数をとると
n/2log(j/n)-j/2=-n/2log(eπ/2)+1/2logπ
log(j/n)-j/n=-log(eπ/2)+1/nlogπ
となって,jはきれいな形では求められないようだ.
そこで,2次方程式を解く方法に切り換える.
{(j+1)(n-j)/2n^2(n+1)}~(π)^1/n/eπn
{(j+1)(n-j)/2n^2(n+1)}~1/eπn
{(j+1)(n-j)/2n(n+1)}~1/eπ
{(j+1)(n-j)}~2/eπ・n(n+1)
j^2+(1-n)j-n+2/eπ・n(n+1)=0
j=1/2{n-1±√(n^2-2n+1+4n-8/eπ・n(n+1))
j/n=1/2{1-1/n±√(1-2/n+1/n^2+4/n-8/eπ)
j/n=1/2{1+√(1-8/eπ)}→1/2
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