空間充填２^n＋２ｎ面体の場合を振り返ってみたい．

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【１】ｎ次元切頂八面体の外接球と内接球？

　正軸体の切頂では，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｙ＝（ｎ−２）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−３）／ｓ，・・・，ｗ＝０

となる．したがって，外接球の半径Ｒは

　　Ｒ^2＝ｘ^2＋・・・＋ｗ^2＝（ｎ−１）ｎ（２ｎ−１）／６Ｓ^2

　　　　＝２（２ｎ−１）／３ｎ（ｎ−１）

　一方，内接球というわけではないが，

　　ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ＝２／ｎ

として，（ｘ，０，・・・，０）で接する球の半径ｒはｒ＝２／ｎで与えられる．

　それぞれの体積は

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・Ｒ^n，π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

であるから，ｎ＝２ｋのとき，

　　π^k/ｋ！・｛（４ｋ−１）／３ｋ（２ｋ−１）｝^k

　　π^k/ｋ！・｛１／ｋ｝^2k

　これとｎ次元切頂八面体の体積

　　１／２・（２／ｎ）^n・２^n＝１／２・｛１／ｋ｝^2k・２^2k

を比較すると，ｋが大きくなるにつれて

　　ｎ次元切頂八面体の体積＞内接球？の体積

となることは明らかである．

　一方，外接球の体積は

　　π^k/ｋ！・｛（４ｋ−１）／３ｋ（２ｋ−１）｝^k→π^k/ｋ！・｛２／３ｋ｝^k＝π^k/ｋ！・｛√２／３ｋ｝^2k

　　√２／３ｋ＞２／ｋ

という計算をするまでもなく，常に

　　外接球の体積＞ｎ次元切頂八面体の体積

である．

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【２】ｎ次元切頂八面体の内接球？

　ｎ次元切頂八面体には，もうひとつファセットがあり，ここでは正軸体の内接球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・１／ｎ^n/2＝π^k/ｋ！・１／（２ｋ）^k

とｎ次元切頂八面体の体積

　　１／２・（２／ｎ）^n・２^n＝１／２・｛１／ｋ｝^2k・２^2k

の大小比較を行ってみたい．

　ｋ！／ｋ^kと２（π／８）^kの大小を比較することになるが，

　　１／ｋ・２／ｋ・・・（ｋ−１）／ｋ・ｋ／ｋ≦１／２^k-1

は証明済みである．

　π／８＜１／２より，

　　２（π／８）^k≦１／２^k-1＝２（１／２）^k

ｎ次元切頂八面体を正軸体の内接球で近似することによって，不等式が改良されたことになる．

　なお，

　　正軸体の内接球の半径＝１／√ｎ＝√ｎ／ｎ

であるから，ｎ＝４のとき，１／√ｎ＝２／ｎとなって，４次元切頂八面体（すなわち正２４胞体）に内接する．しかし，ｎ＞５のとき

　　１／√ｎ＞２／ｎ

になって，内接球はｎ次元切頂八面体を包含しないことが示される．

　さらに，πｅ＝８，５３９・・・より，１／ｅ＜π／８＜１／２

　　２ｅｘｐ（−ｋ）≦２（π／８）^k≦２（１／２）^k

が示される．

　スターリングの公式は，ｋがおおきくなるにつれて

　　ｎ！／ｎ^n〜√（２πｎ）ｅｘｐ（−ｎ）

であるから，ここまでくればスターリングの公式に非常に接近した値が得られたことになる．

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【３】ｎ次元切頂八面体の内接球？（その２）

　偶数次元における，正軸体と切頂正軸体の体積比較によって

　　１／ｋ・２／ｋ・・・（ｋ−１）／ｋ・ｋ／ｋ≦２（１／２）^k

正軸体の内接球と切頂正軸体の体積比較によって

　　１／ｋ・２／ｋ・・・（ｋ−１）／ｋ・ｋ／ｋ〜２（π／８）^k

が得られた．

　さらに，πｅ＝８，５３９・・・より，

　　１／ｋ・２／ｋ・・・（ｋ−１）／ｋ・ｋ／ｋ〜２ｅｘｐ（−ｋ）

が示される．

　ここまでくればスターリングの公式

　　ｎ！／ｎ^n　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

の√ｎのオーダーを図形的に得る方法を考えたいものである．それは，奇数次元（ｎ＝２ｋ＋１）の場合の正軸体の内接球と切頂正軸体の体積比較を考えることによって実現されるが，ここでは割愛したい．

　　ｎ！〜ｃ^-1ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

程度で十分であると考えられるからである．

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